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[疯狂数学家] 康托尔:他开创了集合论,却被送进了精神病院

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查看281 | 回复0 | 2022-6-17 22:34 | 显示全部楼层 |阅读模式

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这是【疯狂的智人】第 036 篇文章疯狂的数学家】第 036 篇文章
数学,究竟是一个什么玩意儿?
或许,大部分人会直摇头,觉得数学是和自己无关的玩意儿,甚至将其当成反人类的玩意儿。
若真是如此,那我们几乎很难去解释,为什么一代又一代,人类中最杰出的那些佼佼者前仆后继地投身于数学之中,有些还不惜搭上了自己的一生。
数学对于绝大多数人来说,都是难以理解的。如果你要问我数学究竟是什么,或许这个问题与我而言就像是康德口中的物自体,属于不可知论的范畴。但是,通过讲述一个个鲜活的数学家,我们可以间接了解到数学的现象,那已经足够了,不是吗?
格奥尔格·康托尔于1845年3月3日出生于圣彼得堡,尽管他是一个德国人,但在他还没出生的时候,他的父亲从丹麦移居到了俄国。
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康托尔的父亲是具有犹太血统的丹麦商人,后来皈依了新教,而他的母亲则是一个天主教,康托尔和他的对手克罗内克一样,更倾向于新教。他对宗教很虔诚,或许这种信仰的力量促使他完成了一个魔鬼般的创举,尽管在一开始的时候,它被当时的人们称为撒旦。
康托尔的数学才能在15岁以前就得到了绽放,他对数学也有一种不亚于宗教般的痴迷。在柏林上大学期间,他认识了库默尔和克罗内克。1867年,他获得了博士学位,他的论文是讨论高斯留下的关于不定方程ax²+by²+cz²=0的x, y, z整数解的难点,其中,abc是任意已知数。
1874年,康托尔发表了第一篇关于集合论的论文,而这一年,也是他与妻子的大喜之年,他们结婚了。
集合论,这个令人匪夷所思的新鲜事物,就这样在整个数学世界冒出了头。
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首先我们得回过头来看一下无穷,实际上,无穷包含了两个方面,一个是无穷大,还有一个就是无穷小。高斯是一个非常恐惧无穷的人,他甚至反对将无穷当成一个完全的东西来使用,他自己明令禁止在数学中使用无穷。
无穷小还曾引发了数学史上的第二次危机,那还是在牛顿-莱布尼茨时代,后来经过一代又一代人的努力,这个危机终于被魏尔斯特拉斯封印住了。就此,无穷小的问题解决了,那么问题来了,无穷大又该怎么算呢?
实际上,无穷小、无穷大与连续就像一对三胞胎一样,是数学史上的噩梦,其最早是由古希腊哲人芝诺释放出来的。
连续与无穷大这两个问题由戴德金开始,最终完成于康托尔之手。
好,接下来我们开启一段无穷之旅。
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比如,首先我问你一个问题,正整数与实数,是否可以在数轴上形成一一对应的关系呢?或者换句话讲,它俩哪个大呢?
在一般人眼里,正整数是无穷的,实数也是无穷的,但这种无穷让人脑袋一片空白,我就将结论告诉给大家,它们不是一一对应的,正整数是可数的,实数是不可数的。
有人可能有疑惑了,实数是不可数的,这个可以理解,正整数怎么可能是可数的呢?你给我数数看?你告诉我到底有几个正整数!
小兄弟,别急,先让我把话说完。先来告诉你,什么叫做可数,什么叫做不可数。
比如,你问我,余襄子啊,你有过几个女朋友?我跟你说,你去猜吧,然后你从1个开始猜,一直往下猜,一个,两个,三个…一千零一个,总归能猜到,而且,你只要按照自然数的顺序猜下去,肯定不会漏掉任何一种可能性,因为,我总不能有1.5个女朋友吧,或者根号7个女朋友吧。
或者,你问,余襄子,你一年码多少字呀?你从1开始往后猜,可能猜到几百万,甚至几千万,只要按照自然数的顺序,你肯定能在某一时刻能猜到,而且不会漏掉任何一种可能性,因为,我总不能码1.7个字吧,或者根号2个字吧。
以上的两个例子,虽然可能性上都是无穷的,但都是可数的,可以一个一个数过去。
再比如,我问你,我现在心中想了一个数字,你猜一下。
这个时候你就一脸懵逼了。
这怎么猜?你先猜0,我说不对,顺便告诉你,这个数字比0大,然后你怎么猜?是猜1呢,还是猜0.1,还是0.01,还是0.001?你心里连个底都没有。
这就是不可数。
其实用反证法就可以证明实数是不可数的了,这里就不做论证过程了。人们发现,实数中,不可数的部分要多于可数的部分。那么问题来了,这些不可数的部分与可数的部分相比,占比是多少呢?比如,实数中,可数部分占30%,不可数的部分占70%,如果这个比值可以算出来,那么实际是占比多少呢?
告诉你答案,是无穷大,也就是说,可数部分的占比几乎为0%。这也就意味着,尽管实数和整数都是无穷大的,但是实数的无穷大要比整数的无穷大还要无穷大。
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虽然整数有无穷多个,把它看成一个集合,那么它就是一个无穷集合,但实数是一个比整数还要多了无穷倍的无穷集合。或者可以说,整数和实数都是无穷多,但实数的无穷多比整数的无穷多更加剧烈,更多,这种剧烈的程度,康托尔称之为“无穷集合的势”。
然后,康托尔就一直思考,如果将自然数的集合当作是势最小的无穷集合,实数集合的势肯定比自然数这个大,那么问题来了,存不存在另外一些集合,它的势处于两者之间呢?
这已经不是单纯地比大小了。
先将这个问题停一下,我先问你,奇数和偶数哪个多呢?
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你想了一会,微弱地说:“一样多吧……”
很好,对了,那我再问你,整数和偶数哪个多呢?
你刚刚那个回答完全是猜的,凭直觉的,在得到我的肯定后,你似乎自信起来了,你想呀,整数里面包含奇数和偶数,现在问整数和偶数哪个多?那肯定整数多呀。这还用问吗?这不是侮辱我的智商吗?
很遗憾,你错了,在集合论中,偶数和整数一样多因为任何一个偶数都能对应一个整数的数字,只不过它们是两倍的关系,但你想啊,偶像是无穷的,总是能以两倍这样一一对应的整数写下去,这种一一对应关系保证了偶数和整数一样多。
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再问你,一条线上的所有点和一个平面上的所有点,哪个多呢?
不敢回答了吧?告诉你,一样多,甚至,一条线上的所有点和一个三维空间上的所有点是一样多的。
地球上的所有点和月球上的所有点,也是一样多的,虽然地球比月球大了很多。康托尔证明了,任何线段,不管多么小,都包含着与无限长的直线同样多的点。
想必你现在一定很惊讶吧。惊讶就对了,正如当时的数学家一样,将康托尔当成了一个疯子。无疑,他就是数学界的一个彻彻底底的革命家。
回到那个问题,如果将自然数的集合当作是势最小的无穷集合,实数集合的势肯定比自然数这个大,那么问题来了,存不存在另外一些集合,它的势处于两者之间呢?
想着想着,康托尔就奠定了整个集合论的根基,他给无穷集合本身下了一个定义,即如果一个集合能够找出一种对应关系,让它能和它的一部分构成一一对应,那么这个集合就是无穷的。至少在逻辑上,无穷被严格定义出来了。怎么理解这个定义呢,就比如偶数的集合,我可以用2N,且N是大于等于1的正整数,这就构成了一个一一对应的关系,所以,偶数是无穷的。
康托尔一心一意投入到集合论大厦的建构之中,在他40岁的时候,就出版了《一般集合论基础》。果不其然,当时几乎所有的数学家都在抨击康托尔,甚至连康托尔的老师都将他当成了一个神经病。
提出了庞加莱猜想的庞加莱说:“应该把集合论当做一个有趣的病理现象来研究。”
就连康托尔之前的导师克罗内克,也在不遗余力地给学生们讲康托尔的坏话。后来康托尔得了精神病,克罗内克也受到了一些指责,但他的反对仅仅只是众多反对声音中的一小部分。
人们认为康托尔将数学带到了精神病院,可没想到的是,最后被带到精神病院的,反而是康托尔。
自己辛辛苦苦研究出来的成果,被几乎所有的人都视为了异端,康托尔遭受了巨大的精神压力,陷入了精神分裂。从1884年开始,一直到1918年去世,康托尔一直分不清幻觉和现实的边界,一直在清醒和神经病之间徘徊。他变得极其沮丧,或许是对信仰的虔诚,他开始在神学中寻找慰藉,才不至于彻底崩溃。
在这期间,只有戴德金这个后半生几乎已经隐居起来的人,还对康托尔保持着同情之心,两人还写了不少信。
除此之外,数学学派的开山鼻祖希尔伯特对康托尔有过高度评价,他说康托尔的集合论是数学天才最优秀的作品,是最伟大的工作。
随着岁月的流逝,加上希尔伯特的背书,开始有人不断重新认识康托尔的集合论。但是,随着关注的人越来越多,集合论也迎来了它的危机。1897年,意大利数学家布拉利-福尔蒂打响了反康托尔革命的第一枪,他从集合论的推理过程中,找出了一个刺眼的悖论,这个特殊的悖论只是几个悖论中的一个。由于这个悖论很难说清楚,因此我们用之后罗素提出来的那个悖论概括一下。
就在康托尔一边清醒一边神经病的时候,数学家罗素在1908年给康托尔写了一封信,信中的内容就是那个“罗素悖论”。
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罗素悖论又被称为理发师悖论,大意是这样的,话说村里有一个奇葩的理发师,他定下了一个规矩,即他一定要给、而且只给那些不给自己理发的人理发,那么请问,他要给自己理发吗?
这个问题就像你女朋友嘴里的死亡问题一样,无论你回答“要”还是“不要”,都似乎不对。如果“要”,也就是说他已经给自己理发了,所以他就不能给自己理发;如果“不要”,那他就要给自己理发,但是前提是“不要”。
似乎,此题无解。
这不是一个脑筋急转弯,而是一个逻辑问题,或说数学问题,有关“集合论”的问题。
用数学的集合语言来展开一下,就是,设集合S是由一切不属于自身的集合所组成的,那么问题就来了,S包含于S是否成立呢?
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无论你回答是成立还是不成立,就像那个理发师一样,都是一个悖论。
这就像是一枚定时炸弹,如果处理不好,直接会将康托尔的集合论炸成灰烬,因为这说明了,康托尔在建构集合论大厦的时候,其基础就已经是矛盾的了。就好比,一个人造房子,将豆腐当成了砖头,无论这座楼造得多高,都是不真实的,都会倒塌。
所以,罗素的理发师引发了数学史上的第三次危机。
于是,一群数学家投入其中,开始在根子上解决这个矛盾,试图更新集合论的基础,规范出一个严格,且不自相矛盾的集合论出来,这个过程也被称为公理化集合论的过程。
大概30多年后,集合论的公理化大厦才在各位数学家的努力下刷新了一遍,但随之而来的却是另一个隐患,直到1938年哥德尔才将这个补上,关于这点,之后讲到哥德尔的时候再讲。
至于第四次数学危机什么时候来?或许,等到哪天有人证伪了黎曼猜想的时候,那么下一场危机就来了,恐怕到时候将会是前四次危机中影响最深远的一次,因为这牵扯到了每个普通百姓,有关加密系统的,就是你用六位数保护余额不足两位数的加密系统。
1918年1月6日,一战快结束了,但康托尔迈向了死亡,享年74岁。正如康托尔所言:“数学的本质在于自由。”或许,他发起的这场革命,正是自由的一部分。
74岁的年龄或许并不长寿,但对他来讲,我觉得已经足够了。若是他像泰迪罗素一样活到了90多岁,我们只要想一想“他有着犹太人的血统,且身在德国”就会再一次为他捏一把汗。

         

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