彭赛列：世上的战俘千千万，但像他这样的，找不出第二个

            

这是【疯狂的智人】第 031 篇文章【疯狂的数学家】第 031 篇文章

当拿破仑带着号称60万大军挺进俄国的时候，他没想到自己会遭遇天气的阻拦，以及莫斯科人坚壁清野的抗战决心。

这些军队中，有一个叫让-维克托·彭赛列的工程师，撤退的时候，他不幸被俄国人逮到了。

彭赛列于1788年7月1日出生于法国，曾在巴黎综合工科学校学习，后来在梅斯的军事学院学习，曾受到过蒙日的启发。遗憾的是，我们不知道他的童年是怎样的。

1812年12月18日，内伊元帅率领的法国残军在克拉斯诺伊吃了败仗，彭赛列原本要被冻死在冰天雪地之中。当俄国人发现他的时候，他似乎已经奄奄一息，但还有口气在。俄国士兵看到了他身上的衣服，认出了他是一个工程军官，于是将他带到了俄国总部。

在回到俄国总部的时候，彭赛列的很多战友都熬不过饥饿和严寒，相继死去，而他因为自己拥有一个好身体，成功活了下来。

在监狱中，彭赛列百无聊赖，那幽暗的时光总是那么让人难以忍受，似乎死亡会在不经意间到来，夺走在监狱中人的性命。人最怕无聊，最怕无所事事的日子，尤其是在死亡的阴影下。

彭赛列决定去做点什么，当天气逐渐暖和起来之后，他才终于获得了些许平静，在这样的环境下，他开创了射影几何学。幸运的是，那时候的数学仅靠头脑和简单的树枝在地上作图就能完成，他的记忆非常好，总是能回想起以前学过的东西，从数到微积分，他一个又一个回忆起来了。

在他的经典著作《分析学和几何学的应用》中的序言中，他详细记录了这次被俘时的经历。

1814年，彭赛列回到了法国，他在监狱中已经写下了七本手稿。无疑，他的射影几何在帕斯卡的基础上更进一步。他提出了连续性原理，以及将代数中的虚数解释成几何学中的理想元素。

射影几何中有一个非常有用的概念是交比, 由德萨格所知，由彭赛列强调和发展而成，它是由摄影之线上的四个点的坐标导出来的一个数字。比如，我们通过一点O，任意作四条不重合的直线l,m,n,p，接着，我们再画一条与四条直线都相交的直线x，交点分别是a,b,c,d，如此，我们会得到几条线段ab,bc,ad,dc，于是，我们可以得到交比：

=ab*dc/bc*ad

而且，我们会发现，无论x处于什么位置，交比都有同样的数值。

接下来，让我们想象两个圆，它们相交于两个点A和B，然后我们用直线把AB连接起来，我们会看到这条线段是显而易见的，或者说是实在的。现在，想象这两个圆被逐渐拉开，公共弦AB很快就成了两个圆在它们的接触点处的公切线，如果在公共弦上任取一点P，可以做四条两个圆的外切线，与两个圆相交于QWER点，那么我们回忆一下初中几何，就会发现，无论如何PQ=PW=PE=PR，这四条线段是相等的。

好，接下来，我们继续让两个圆分离，以至于他们不再有交点，至少在图形中，我们看不出来。但是，我们头脑中都还能知道，仍然有一个切线线段相等的轨迹，而且很容易证明这个轨迹是一条垂直于连接两个圆心的直线，就像原来的轨迹（公共弦）那样。

就此，你没发现什么问题吗？

两个圆都不相交了，可我们还是能够得到这条“虚拟”的公共弦。这个时候，交点就是“虚”的或“理想的”，就像数学中的虚数一样，在现实中并不存在，只存在于我们的头脑中。

这其实就是射影几何中的“连续性”，我们不妨来看两条平行线。别想多了，这个时候还没有罗巴切夫斯基和黎曼呢。我们都知道，在欧爷的平面几何中，两条平行线是不相交的，永不相交。然而，在射影几何中，我们可以说，两条平行线相交于无穷远处。当然，它们依旧在平面几何中。

如果从逻辑和语言的方面来看，这句话很不靠谱，或者你会将欧爷搬出来和我辩论。但请注意了，这只不过是一种表达方式，就像虚数一样。我们引入“平行线相交于无穷远处”这个概念，可以丰富我们的射影几何学。有了虚构出来的这些点线面，我们其实也可以说，平面上任何两个圆，都有四个交点，其中的两个点是虚的，在无穷远处。

要注意，欧爷的平面几何与射影几何是有区别的。如果用欧爷的语言来讲，两条平行线有同样的方向，那么到了摄影几何中，两条平行线有同一个理想点，这个理想点在无穷远处。

好，有了这些概念，我们就可以来看一下对偶原理，意思就是说，平面射影几何中的所有命题都是成对出现的，因而只要交换“点”和“线”这两个字，立刻就能从特定的命题对中的一个命题推出另一个命题。

举个直观的例子，比如大部分关于射影几何学的书，都被印成了两栏，左右两栏，在这两栏的命题都是互为对偶的，这意思是说，只要证明了其中一个，那么另一个对偶的就无需证明了。

再举个例子吧，我们看下面两张图，第一个是帕斯卡的神秘六边形，另一个布里安生利用对偶原理发现的定理。我们不要去管究竟是怎么证明的，我们只要知道，它们互为对偶。

▲ 帕斯卡神秘六边形

如果A、B、C、D、E、F是一个圆锥截线上的任意点，那么诸直线对AB和DE, BC和EF, CD和FA的交点在一条直线上；反之亦然。

▲ 布里安生根据帕斯卡定理发现的其对偶原理

如果A、B、C、D、E、F是一个圆锥截线上的切线，那么连接A和B以及D和E，B和C以及E和F,C和D以及F和A的交点对的诸直线交于一点；反之亦然。

射影几何是一个很有魅力的学科，后来吸引了无数人。在我看来，数学是具有创造性的一门学科，我们可以在原有的基础上增加一些概念，比如在数中加入虚数，在平面几何外加入无穷远处，这些新增加的概念就像是我们手中突然多出来的一个工具，一个视角，有了这个新的视角，我们会发现一些别有意思的定理或发现。

▲ 彭赛列闭合定理

正如我们在初高中求解或证明几何的过程中，原本我们对此束手无策，但如果我们能在图形中加入一条或多条辅助线，则答案就变得清晰明了了。这些辅助线，不就是虚的吗？不就是我们想象出来的吗？

1867年12月22日，彭赛列去世，享年80岁。

从彭赛列的数学启发中，我学到了一个词，叫“无穷远处”。希望大家也能记住“添加辅助线”这个数学中最常用的一个工具，很有用，尽管是虚的。工作中和生活中我们也可以添加“额外的辅助线”来帮助我们更好地解决问题，至少看问题的时候能够多一个支点，多一个视角。

莫问襄子在何方，无穷远处。

请你离我远一点，无穷远处。

君不见黄河之水天上来，无穷远处。

京城有善口技者，无穷远处。

先帝创业未半而中道崩殂，无穷远处。

天生我材必有用，无穷远处。

十年生死两茫茫，无穷远处。

我自横刀向天笑，无穷远处。

突然来了兴致，弄首蝶恋花玩玩。（打油词）

蝶恋花·数学

法国有条彭赛路，无穷远处，射影照虚数。疯狂数学惹人妒，妻儿老小莫吃醋。

数学带你进坟墓，无穷远处，欧拉高斯护。人间痴儿争相渡，总有后人忍不住。

         

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