戴德金：蜗角虚名，蝇头微利，算来著甚干忙！

            

这是【疯狂的智人】第 030 篇文章【疯狂的数学家】第 030 篇文章

尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金是高斯的老乡，于1831年10月6日出生于德意志地区的布伦瑞克。

戴德金的父亲是一名法学教授，家中有四个孩子，而他是最小的那一个。

在早年的时候，戴德金似乎对数学并不感冒，他喜欢的是物理和化学。不过随着学习的深入，到了17岁的时候，他觉得物理化学这种经验科学还是有不靠谱的地方，于是他转而投身到逻辑科学中，即数学。

显然，戴德金的生活比较平淡。21岁那年，他由于一篇关于欧拉积分的短论文，从高斯手里获得了他的博士学位。两年后，他被任命为哥廷根大学的讲师。1857年，那一年戴德金26岁，又被任命为苏黎士理工学院的常任教授，干了五年，他回到了布伦瑞克，在那里工作了近半个世纪，一直到去世。似乎戴德金就是一个宅男，至于为什么，至今无人知晓。

要说戴德金的数学贡献之前，我们先来看一个数学概念，环。

环和群粗看起来很相似，但实际上它们是不同的两个玩意儿。比如说要定义一个群非常简单，只需要四条公理：封闭性、结合律、单位元和逆元。而域则是一个更加复杂的玩意儿，它的定义需要十条公理，而且它的基本合成方式不止一个，而是两个：加法和乘法。

相对来讲，环是介于群和域之间的存在，它比群复杂一点，但比域简单许多。

我们以一个例子来说明一下，比如整数的集合，记为Z，包括所有正整数和负整数以及0，如下：

…-3，-2，-1,0,1,2,3…

这个集合左右两边都可以无限延伸，试着想一下，你可以在其中进行加法、减法和乘法运算，其结果依旧在这个数列当中，以加法为例，比如a+b，a和b都是这个集合中的一个子集，那么他们相加的和也必定落在这个集合之中，减法和乘法也是一样。但是除法就不同了，比如我们取2,3，无论是2/3还是3/2，都是小数，其结果就不在这个集合中。因此Z就不是一个域，因为它不满足除法运算。

实际上，有很多数学对象和Z一样，很好玩，比如多项式就是如此。我们给定两个多项式：x³+x-5和x²+6，我们可以把他们相加，得x³+x²+x+1，它还是一个多项式，相减，得x³-x²+x-11,依旧是一个多项式，或者相乘，其结果也是一个多项式。但若是将它俩相除，无论哪个除以哪个，都不一定能得到一个多项式，因此，在这个例子中，我们就无法做除法。但是在一些其他例子中，除法运算可以用，比如多项式x²-4与x+2中，我们用前者除以后者，得结果x-2，它还是一个多项式，正如我们可以在Z中，取两个数，6和2，前者除以后者，得3，落在Z中，也是一个整数。

因此，这种可以进行加法、减法和乘法三种运算而不能做四则运算的就叫环。有人说，环的概念最早出自费马大定理，这显然是不太准确的，但环在人们不断研究费马大定理的过程中被创造出来，则是恰如其分的。当然，关于环这个名词，也是后来定义的，在之前，它不叫环。

戴德金对代数学的贡献主要体现在三个方面，第一，他给出了“理想”的概念，第二，他与韦伯一起开创了函数域理论的研究，第三，这可能是最重要的一点，他开启了代数公理化的过程。

所谓的“理想”，不是指你有什么理想之类的，而是数学的“理想”，哦不，准确来讲，是数学中的一个概念。要说清楚“理想”并不是一件容易的事，简单来讲，“理想”就是一种子环，一种环中环，因此它是一个由数或多项式构成的集合，在加法、减法和乘法运算下是封闭的，嵌入在相同类型的一个更大的集合中。

关于“理想”，有这样一个特性，如果你任选其中一个元素，将这个元素与大环中的一个元素相乘，其结果仍然在这个子环中。

还是举个例子，比如整数环Z，给个任一的倍数，比如2，那下面的这个集合就是一个“理想”：

…-6,-4,-2,0,2,4,6…

这个“理想”，就是由形如2m的整数组成的，m是任一整数。在“理想”中任选一个数，比如6，乘以大环中任一一个数，比如5，其结果30依旧在“理想”中。

这里举的例子比较简单，因为Z本身就很容易理解，如果是其他环呢？或者说当其涉及到复数的时候，则情况将变得极其复杂。不过戴德金给出了这样的概念，如果他的想法被其他数学家所接受，那么环将变得和群一样有趣。

当然，自从环一问世，大家都想找出它的实际应用，一直到第一次世界大战之后，环才算是成熟，带来了清晰连贯的理论，涵盖了所有这些领域，并使它们建立在稳固的公理化基础之上。

戴德金提出了戴德金分割，所谓的分割，简单来讲，就是想象一条直线，将直线上的所有点都分成两类，首先，每个类里面都不能为空，且每个点都恰如其分地属于一个类。如果第一类的点都在第二类的点前面，或者说，在第一类中存在这样一个点，使得第一类中其余的点都在它前面，亦或是，在第二类中存在这样一个点，使得第二类中其余的点都在它后面。这时，我们就可以将这个点称为决定直线的戴德金分割率。

戴德金就像是高斯一样，他认为，这些算术的真理应该来源于概念而不是记号。或许，莱布尼茨听到这句话后会很不服气，可是，管他呢，神仙打架，我们连吃瓜都看不懂他们在打什么。（莱布尼茨终其一生都在寻找一种可以符号化的数学）

好，讲一个有意思的事，据说戴德金后半生一直待在布伦瑞克，而且他活到了20世纪，算是挺长寿的一个数学家。因此，他几乎成了一个传说中的人物，很多人都以为他已经挂了。托伊布纳的《数学家年表》中就将戴德金列入已去世的名单中，而且他去世的时间都被写上去了：1899年9月4日。戴德金觉得又可气又好笑，写信给编辑说：“日期可能是对的，但年份肯定是错了。根据我自己的备忘录，我极其健康地度过了这一天。”

1916年2月12日，戴德金去世，享年85岁。就像康德一样，他终身未婚，一直和小说家姐姐尤莉叶住在一起。（康德也是宅男）

不仅年份错了，就连日期也错了。看来戴德金活着的时候真的非常低调，那些远不如他的人，反而混得比他好。可是谁在乎呢？伟大的数学家在乎这些蜗角虚名吗？

         

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