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[疯狂数学家] 罗巴切夫斯基:如果两条平行线相交,会发生什么?

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查看271 | 回复0 | 2022-6-17 22:27 | 显示全部楼层 |阅读模式

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这是【疯狂的智人】第 027 篇文章疯狂的数学家】第 027 篇文章
尼古拉斯·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基被誉为几何学中的哥白尼,关于这点,至今数学界是没有任何疑问的。
罗司机是一个俄国人,1793年11月2日出生在俄国的诺夫哥罗德辖区的马卡里耶夫地区,他的父亲是一个小官吏。在罗司机7岁的时候,父亲就去世了,留下了一个寡妇以及三个孩子。
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罗司机的母亲尽管要一个人承担起家里的重任,但她似乎是一个乐观积极的女人。三个孩子的也都很争气,一个接一个获得了中学的奖学金。
1807年,罗司机只有15岁,进入了喀山大学,此后的岁月中,他一直在这里度过。
罗司机在数学中具有开创性的工作,在于建立了一个不同于欧几里得的几何空间。在之前欧爷的篇章中也提到过,欧爷的十条公理(或公设),其中最后一条关于平行的公理,一直以来就让人感觉很奇怪,它不像其他的公理一样显而易见。两千年来,欧洲人一直没有放弃对它的研究,甚至用其他的等价公理将这一条平行公理表达出来。
简单来讲,如果海洋深处的生物也懂几何学的话,那么他们最自然的几何学就是双曲线几何。假设你是一条鲸鱼,生活在海里,你了解海洋里面的世界不是靠视觉,不是靠眼睛看,而是靠听觉,靠耳朵听。有一天,你在海里游啊游,看到了一条漂亮的母鲸鱼,准确来讲是听到一条母鲸鱼,你想叫一声:“姑娘慢走,留下你的微信号。”
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你想让你的声音以最快的速度传达给母鲸鱼,在你的世界里,两点之间最短距离将是声波走过的路径,对你来说,这就相当于一条直线。
可是,问题来了,声音在大洋中的传播速度并非一直相等,在某一深度,它的传播速度跟它与水面的距离成正比,因此,声波传播的路径并非是直线,而是一条曲线,它们是圆心在洋面的圆弧。因此,对于鲸鱼来说,人类称之为圆的东西实际上就是它们的直线。
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而且,在这样的世界中,三角形的内角和就不再是180°,而是小于180°,那里没有长方形,但是有直角五边形,最重要的是,在鲸鱼几何中,曲率是一个负数,这也就是说,在一开始平行的直线之间的距离会越来越大。
实际上,还有另一种非欧几何,我们一直以来就生活在其中,就是地球。在地球的表面,三角形的内角和大于180°,长方形不存在,但直角三角形是有的,比如,你可以画一个三个直角的三角形。
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对,你没有听错,是三个角都是直角的三角形,而不是直角三角形,我来教你怎么画。首先,你在北极拉出一条直线,拉到赤道,然后沿着赤道,向东或向西,都可以,绕过四分之一个地球,最后向北回归北极,这样子你画出来的三角形的三个角就都是直角。在地球这样的球面几何中,曲率是一个正数,也就是说,刚开始两条平行的直线,最终都会相交于一点。与赤道垂直的纬线都是平行的,但是最终都相交于南极和北极。
该球面几何也就是人们所熟知的黎曼几何,如果说同时期的另一场代数革命给了人们打开量子力学的大门,那么黎曼几何就是给了人们打开相对论的大门在,准确来讲是给爱因斯坦打开广义相对论的大门。
罗巴切夫斯基在发明了他的非欧几何后,需要对其建立自身的相容性和无矛盾性,他后来的人生就几乎被这一项工作给填满了,但终其一生都未能实现。在他去世前两年,即1854年,德国伟大的数学家,也就是高斯的学生波恩哈德·黎曼,他是非欧几何的奠基人,欧几里得几何和罗巴切夫斯基几何都是黎曼几何中的特殊解。因此,非欧几何并非推翻了欧几里得几何,而是扩展了其边界,就好似相对论并非推翻了牛顿引力学说,而是扩展了其边界。
尽管之前就有人对欧爷的平行公理提出了怀疑,但罗司机却是第一个正面提出挑战的人。用爱因斯坦的话来说,罗司机是向一个公理挑战。想想,欧爷的《几何原本》在2000多年的时间里占据了欧洲人的头脑,被认为是《圣经》一样的存在。任何胆敢挑战他的人,要么就是吃了熊心豹子胆,要么就是在拿自己一生的名誉和生命在开玩笑。
欧爷的几何和罗司机的几何的差异不大,这两种几何都是自洽的,且符合人们的经验。
或许正如大部分挑战传统固有观念的人一样,罗司机的研究成果在他活着的时候并没有引起人们的重视。他后来担任了喀山大学的校长,但1842年的一场火灾几乎是毁了半个喀山。
晚年的时候,罗司机口述自己的著作,由别人代写,因为那个时候的他,已经双目失明。
1856年2月24日,罗司机去世,享年62岁。

         
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