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[疯狂数学家] 欧拉

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查看277 | 回复0 | 2022-6-17 22:18 | 显示全部楼层 |阅读模式

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这是【疯狂的智人】第 012 篇文章疯狂的数学家】第 012 篇文章
莱昂哈德·欧拉无疑是数学史上的一个天才,他有着惊人的心算能力和记忆力,让所有人,其中包括你我都羡慕不已。他小心谨慎,就像一个侦探一样在数学的世界中摸索,每一步都走得尽可能稳妥,不至于在论证过程中稍有不慎就走错了路。
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1707年,欧拉出生于瑞士的巴塞尔,他的父亲是一名加尔文教派的基督徒,因此,尽管欧拉从小就展露出了数学天分,但父亲还是想让他从事神职人员的工作。和其他叛逆的小伙伴们不同,欧拉接受了父亲的安排,前往巴塞尔大学学习神学。
幸运的是,欧拉与当时的数学家族伯努利家族生活在同一座城市,其中尼古拉·伯努利还是欧拉的朋友。可能一些对数学史不了解的朋友还不知道这个伯努利家族,这么说吧,伯努利家族在数学中的地位,就相当于巴赫家族之于音乐,罗斯柴尔德家族之于金融。三代人中出现了8位杰出的数学家,你就说牛不牛逼吧。
伯努利家族的人多次劝说欧拉的父亲,希望他不要埋没了儿子的数学天赋,要让欧拉顺应自己的生长路径,这样才能成为全村最靓的仔。老父亲也不是一个冥顽不顾的人,再者他也知道伯努利家族的牛逼之处,况且早年的时候也从老伯努利那里学习过数学。
就此,欧拉从神学的道路上跨向了数学之路,但这并不意味着欧拉放弃了基督教信仰,相反,他的一生都对上帝怀着敬畏之心。
欧拉一生的足迹遍布整个欧洲大陆,他曾出入俄国宫廷,又应普鲁士国王腓特烈之邀,前往柏林科学院,不过最终,他还是回到了俄国,当时正处于俄国唯一一位女沙皇叶卡捷琳娜二世统治期间。
欧拉最重要的数学成就之一在于对理论计算方法的发展,比如太阳-地球-月球之间的三体问题,直到今天,人们依然无法给出三体问题中的精确解,但在18世纪,一个个聪慧的头脑都在试图给出这个答案,而且越来越精确。
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在俄国宫廷中,欧拉遇见了法国启蒙思想家狄德罗,这位无神论者试图将整个俄国都转变成一个无神论国家,这触动了俄国的东正教传统,惹得叶卡捷琳娜女皇非常生气。女皇让欧拉去会会那个不知敬畏为何物的无神论者,企图断了他的念想。
欧拉信心满满地表示,自己可以从代数学的角度入手,来证明上帝的存在。女皇邀请欧拉和狄德罗一起前往宫廷,当着大臣的面,来一场神学辩论。
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▲ 狄德罗

会上,欧拉斩钉截铁地说:“先生,(a+b^n)/n=x,因此上帝存在。请回答!”
狄德罗就是一个数学学渣,至少和欧拉比起来,简直是差了十万八千里,在神学辩论现场,这位老兄哑口无言,一言不发地离开了会场。可能是感觉自己蒙受了屈辱,老兄随即离开了圣彼得堡,回到了法国。
据说在18世纪初普鲁士的哥尼斯堡,有一条河穿过,河上有两个小岛,有七座桥把两个岛与河岸联系起来(如下图)。有个人提出一个问题:一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥呢?
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欧拉将此变化成了一个数学问题,得出结论,这根本是不可能的。
这也是一笔画问题,一个图形能否一笔画成,在欧拉看来,必须满足以下两点:
1)图形之间必须是连通的。
2)图中的“奇点”个数是0或2。
我们回到哥德堡七桥问题,发现四个点上,所连线段的个数都是奇数点,也就是说,这张图的奇数点是4个,不满足以上的第二个条件,所以不可能。
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为了方便理解,襄子创作了几张类似的图,大家一起来数一数,看一看是否能一笔画成,若能一笔画成,襄子在旁边画出了路线图,一目了然,希望这个简单的办法可以帮助大家更好地理解歌德堡七桥问题,以后也可以给自己孩子讲一下。
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欧拉的一生是高产的,甚至在整个数学领域,处处都可以看到他的名字,甚至可以说,以他名字命名的定理,涵盖了数学的各个分支。我们可以在几何学中找到欧拉三角,在拓扑学中找到欧拉示性函数,在图论中找到欧拉圆,更不要说使人目不暇接的欧拉常数、欧拉多项式、欧拉积分等名目了。即使这些都加在一起也只是道出了一半,因为人们一向归于他人名下的许多数学定理,实际上却是欧拉发现的,并深藏于他一生数不尽的著作中。恐怕整个人类史上也找不出第二个欧拉。
欧拉的《全集》,是一部73卷的文集,其中包括了他一生用拉丁文、法文和德文撰著的886卷书和文章。在他死后,圣彼得堡的科学院花了47年的时间才陆续出版了他的著作。
二十几岁的时候,当时欧拉正在完成一项巴黎科学院的有奖竞答,他工作了三天三夜,最终赢得了悬赏,但高强度的工作可能损伤了欧拉的眼睛,他的一只眼睛看不见了。
欧拉对此并没有抱怨,相反,他还认为,这样自己就可以在研究数学的时候不分心了。
40年后,已经60多岁的欧拉的健康再度恶化,他另一只眼睛得了白内障,这似乎预示着,这位天才将再也看不见了。欧拉开始常识闭上那只逐渐模糊的眼睛,在黑暗中书写自己的著作。然而,欧拉的字迹越来越潦草,后来在儿子的帮助,他口述自己的数学研究成果。
平心而论,如果真要介绍欧拉所有的数学研究,哪怕是一半,恐怕都能写成一部厚厚的书。他的贡献不仅局限于数学,还囊括了天文学,航海学和物理学。最难能可贵的是,他不像有的人,自恃聪明,就有恃无恐,在私德上面有所欠缺,纵观欧拉的一生,他对上帝保有虔诚的信仰,他结过两次婚,在他69岁的时候,他的第一任妻子去世了。第二年,他又结婚了,对象是他前妻的同父异母的姐妹,除此之外,甚至都找不到他的任何关于女人的八卦。
数学家可能是最保守的一个团体了,在所有自然科学中,宗教信仰最多的群体是数学家,伯努利家族的一人就曾说:“在人类的思考学问里,最接近上帝的,不是神学,而是数学。”
最后,不得不提一下关于欧拉的一些成果。1988年,《数学信使》杂志组织了一次推选史上最优美数学定理的投票,令人吃惊的是,中奖名单中有四项定理都是由欧拉证明的。
欧拉恒等式:e^iπ+1=0
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这是多么美丽的一个公式啊,其中e是自然对数函数的底,约为2.71828,i是虚数,是负一的平方根,而π则是圆周率。如此简单,如此简洁。费曼称这恒等式为“数学最奇妙的公式”,因为它把5个最基本的数学常数简洁地连了起来。
关于无穷级数的收敛,欧拉得出了很多令人匪夷所思的结论,比如所有自然数的平方和加起来等于零,所有自然数相加等于负的十二分之一。这些一看上去就错误的结论,后来催生了黎曼猜想。
当然,欧拉还有一个美丽且简洁的公式,即1+1/2²+1/3²+1/4²+1/5²+…=π²/6,这个在之前孤独的数学那篇文章中有详细的证明过程,有兴趣的朋友可以回顾一下。
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如果我们对数学严刑拷打,会发生什么?


以上这些,都不过是欧拉的冰山一角。1783年9月18日,吃完晚饭后,欧拉一边喝茶,一边和小孙女玩耍,突然之间,烟斗从他手中掉了下来。他说了一声:“我的烟斗”,并弯腰去捡,结果再也没有站起来,他抱着头说了一句:“我死了”。
人类史上的一位奇才,就这样离开了这个人世,享年77岁。
每次回想起欧拉,我都觉得,人类各种族之间的纷争与嘴炮是多么的幼稚与可笑,就比如,欧拉是瑞士人,还是欧洲人,亦或是西方人,重要吗?
我觉得一点都不重要,天才也不会制造对立,天才对这个世界的贡献是向前推进,就像帝国时代中,点亮了地图上更多的黑暗区域,而不是在已有的地图内打打杀杀。
欧拉,是整个人类史上的瑰宝。
常常阅读数学史,会让你淡化心中的戾气,并且感受到人类智慧的奇妙之处。数学家们会告诉你,生而为人,不再是太宰治那般无病呻吟般的“对不起”,而是很值得。

         

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