黎曼：猜想，你们证明了吗？

            

这是【疯狂的智人】第 028 篇文章【疯狂的数学家】第 028 篇文章

尽管数学家普遍都很长寿，但其中也有几个病秧子，比如帕斯卡、柯西和黎曼。格奥尔格·弗里德里希·波恩哈德·黎曼1826年9月17日出生在德国汉诺威的小村子，家中有6个孩子，他排老二。

黎曼的父亲是一个路德教派的牧师，家里也算不上好，他和兄弟姐妹从小就体质不好，缺乏营养，大多数在小小的年龄就夭折了。尽管黎曼存活了下来，但可以肯定的是，他营养不良。

黎曼可能是一个内向的人，他小时候就胆小，缺乏自信，害怕在公开场合讲话，或许也是一个社恐。黎曼这种腼腆的性格很讨人喜，毋宁说，他的精神世界和世俗世界是完全剥离的。如果我们只看他的外表，很难与伟大的数学家联系在一起。

和许多其他数学家一样，黎曼的数学天赋也是在很小的时候发现的，他6岁开始学算术，这对他来讲是小菜一碟。他不仅轻松解决了安排的任务，还自己出了一些更难的题给兄弟姐妹。不用说，他的这种行为让自己的兄弟姐妹很是恼火。

黎曼后来和祖母一起居住，上了中学，在祖母去世后又转学了。黎曼也是对一个对宗教怀着虔诚之心的人，他试图效仿斯宾诺莎的方式，用严谨的数学去证明《创世纪》的真实性，无疑，他失败了，但这并没有给他带来多少打击。和柯西不同，黎曼从不会拉别人转变信仰。在生活中，他是一个腼腆且不愿意与人多说话的人，他的传记作家戴德金就说：“他虔诚地避免打扰其他人的信仰。对他来说，宗教上主要的事情是每天的自我反省。”

校长发现了黎曼的数学才能，给他了一张图书馆畅行无阻的VIP卡，还让其免修数学，让他自由发挥。有一次，黎曼借走了勒让德的《数论》，这是一本800多页的大部头，就算是小说也会让很多人望而生畏。黎曼拿回家后认真阅读，一个礼拜之后就掌握了它。是的，黎曼在这一点上没有吹牛。

1846年，黎曼19岁，进入了哥廷根大学学哲学和神学。他希望能够尽早工作，来减轻家里的经济压力，因此他才选择了神学。无疑，黎曼是一个懂事的孩子。但是在大学中，他的兴趣驱使着他去听自然科学的讲座，除了数学，他还喜欢物理。当父亲得知这一情况后，由衷地向自己的宝贝儿子表示，他可以去学任何他想学的课程，家里的事，暂时还轮不到他操心。

黎曼很感激他的父亲。一个懂事孩子的背后，其实是一个善解人意的家庭，真正的懂事也不是挂在嘴边的，而是从心底长出来的行动。

在哥廷根大学一年后，黎曼去了柏林大学，在那里，他接触到了更多的牛人。1848年，他和保皇派一起，当了王宫门前的警卫，以保护国王。第二年，他回到了哥廷根大学完成他的学业，以取得博士学位。

黎曼的兴趣很广泛，若是他能多活几十年，他可能会留下更多关于物理学和哲学的伟大研究。或许是这些兴趣占用了他的一部分时间，他的数学博士论文一直到他25岁的时候才交出。这封迟来的论文叫《单复变函数的一般理论基础》，获得了高斯的高度评价，要知道，高斯是一个自负的人，他很少去夸赞和鼓励别人，尤其是年轻人。

尽管黎曼的一生是短暂的，但他在很多数学领域都做出了开拓性的贡献，关于空间几何的大胆尝试让他成为了相对论的基石。在以黎曼命名的诸多数学概念或命题中，最著名且最具挑战性的无疑是“黎曼猜想”。

所谓黎曼猜想，简单来讲，就是关于下面黎曼ζ函数，这个是希腊字母，读“zeta”。

ζ（s）=1+1/2^s+1/3^s+1/4^s+1/5^s+…

这是黎曼于1859年提出来的，这一年他刚被任命为柏林科学院的通讯院士，因此作为见面礼，他提交了唯一一份关于数论的论文，也是唯一完全不包含几何概念的论文：《论小于一个给定值的素数的个数》。

黎曼猜想是关于素数的，他发现，已知s=–2，–4，–6，…为其零点（平凡零点）。黎曼猜想，所有的非平凡零点均落在x=1/2这条垂线上。这个函数和猜想贯穿了数论和函数论两大领域，被公认为数学史上最伟大的猜想，至今尚无人可以望其项背。

这里解释一下什么是零点，当然不是张靓颖嘴里的“心还是会疼想你在零点零一分，幸福的人都睡的好安稳”。举个例子，比如一个函数f（x）=x²-1，那么x=正负一就是它的零点，它的零点就有两个，而sinx的三角函数，零点就有无数个。回到ζ函数，我们可以直观地看出，当s取值是-2，-4，-2n的时候，这个函数位于零点，所以这些叫平凡零点。而当s取值是复数的时候，也会让它的值等于零，而且黎曼猜想，当这个函数落在零点的时候，s复数的实部必定是1/2，所以叫非平凡零点。

后人找出了很多非平凡零点的解，它们都具有1/2+yi的形式，其中i是虚数。当然，这里的s不局限于整数，而是形如a+bi的复数。后来借助计算机的情况下，人们已经发现了几十亿个解，都符合黎曼的猜想，没有一个例外。但是问题来了，数学世界可不是一个差不多世界，而是严谨的逻辑世界，如果不能从逻辑上证明或证伪一个理论，其实再多的个例解都并不能实质性解决问题。

但是在现实世界中，我们人类其实没有那么死脑筋，而是假定黎曼猜想已经是正确的了而使用它。由于黎曼猜想与素数有关，因此今天我们用到的几乎所有加密都与其有关。换句话讲，若是某一天黎曼猜想被证伪了，那么今天我们所有的加密系统都通通报废。

由黎曼猜想延伸出来的很多其他大大小小的理论，实际上我们今天都在用。黎曼猜想就像是一根大树，大树周围延伸出了许多小树枝。如果大树本身没问题，那么这些小树枝也没问题，可一旦大树本身有问题了，那么整个大厦都可能倾倒。到了那时，可能人类的数学家们就要退回到黎曼的起点，重新开始。

不过，黎曼猜想究竟能不能被证明，实际上也是一个需要证明的命题。或许就如哥德尔所说的那样，有些数学命题是永远无法证明或证伪的。

管他呢，用六位数的密码保护我那两位数的余额，我还在乎它所有的非平凡零点都落在x=1/2之上吗？

黎曼关于猜想的这个手稿非常简短，只有8页纸，而且其中有好几处“证明从略”，由于黎曼手稿的遗失，导致后来的数学家花了很大的精力才将其补上。

1870年，黎曼又发布了一篇大胆的论文《论物质的空间理论》，他指出，因为有不同的线和曲面，所以有不同种类的三维空间；我们只能凭经验去找出我们生活在其中的空间究竟属于这些三维空间中的哪一类。比如我们可以在一张纸上作图，这就是平面几何，但是，一张纸上会有皱痕，它上面的曲率不为零，那么平面几何中的很多公理就不成立。

当然，这是一种比喻，现实生活中，可不要拿着试卷去和老师抬杠，说这不是平面几何，会被揍一顿的。

黎曼在1854年赋予了几何一种全新的概念，他想象的几何是非欧几何，但他和罗司机的非欧几何又不一样，也不是黎曼在自己的钝角假设所延伸出来的非欧几何，而是在一种依赖于度量概念的更广泛意义上的非欧几何。其中最重要的是三点，流形的概念、距离的定义和流形的曲率，具体这里就不展开了。

当然，黎曼在数学中的成就远非这篇文章所涉及的，甚至他在物理学上也有过建树。上世纪的一百年来，他成了现代数学的奠基人之一，没有它，相对论就不可能建立，我们今天也就无法使用GPS定位。

1866年7月20日，黎曼去世，享年39岁。

黎曼去世后，妻子带着女儿与黎曼的姐姐一起居住，实际上这位大数学家的一生都很贫苦，谈不上有钱。黎曼与妻子之间的婚姻是幸福的，俩人生了一个女儿，关于他们的后人，就慢慢被历史所淡忘了。

         

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