《车轮悖论》：同心圆中，大圆的周长等于小圆的周长吗？

            

物理学界四大神兽：芝诺的乌龟、拉普拉斯妖、麦克斯韦的精灵与薛定谔的猫齐登场。

这是【十大悖论】第 02 篇文章

美国物理学家卡约里在其著作《物理学史》中说：“古希腊人在哲学、逻辑学、天文学、形而上学和文学艺术方面很有成就，但是，在科学，比如物理学方面，成就很小。”

这并非危言耸听，我们看看亚里士多德就知道，尽管他写了一部《物理学》，但其中很多结论在今天看来都是错的。相比于其他古希腊人，亚里士多德算是比较实际的了，但他依然摆脱不了古希腊的形而上式思考。说了这么多，其实并不是要贬损亚里士多德，相反，他尽管出现了很多错误，但依然是伟大的。

亚里士多德在《论力学》中提出了一个悖论，也就是“车轮悖论”，足足让人类史上最聪明的数学家头疼了数百年。

车轮悖论大概是这样的：在一个轮子上有两个同心圆，轮子滚动一周，从A点移动到B点，我们会发现，线段AB就等于是大圆的周长，但神奇的是，此时小圆也刚好走过了一周，并走过了线段AB的距离，这岂不是说，大圆的周长等于小圆的周长？

不对，这里面肯定有问题，但是问题出在哪里呢？

当我第一次看到这个车轮悖论的时候，我就在想，小圆和大圆的线速度不同，而线段AB的长度，并不是小圆和大圆的运动轨迹，而只是它们的位移。在滚动的过程中，大圆和小圆的运动时间是一样的，位移S=vt，而它们的线速度不一样，按理说得出来的位移S也不一样，但是实际情况却是，它们的位移是一样的。

问题究竟出在哪里呢？

别着急，就连伟大的伽利略和萨尔维亚蒂也曾设法破解其中的奥秘。

萨尔维亚蒂向他的朋友提出，假设有一个六边形ABCDEF，且在里面有一个小正六边形HIJKLM，这两个六边形有一个共同的中心G。再假设，我们将大六边形的边AB延长，形成一条直线AS，并将小六边形中与之平行的边HI延长，形成另一条直线HT。接着，我们绕着点B旋转大六边形，使边BC落在直线AS上的线段BQ之上。与此同时，小六边形也会跟着一起转动，最终边IK会落在直线HT上的线段OP之上。

萨尔维亚蒂指出，大六边形得到的直线与由小六边形得到的直线之间是存在差别的：由较大的六边形得到的是一条连续的直线，因为线段BQ正好与线段AB相邻；然而，由较小的六边形得到的线却是有缺口的，因为在线段HI和线段OP之间有一个空间IO，六边形在其旋转过程中从未与IO有过接触。如果我们让大六边形沿着直线完成一周完整的旋转，将得到一条连续的线段，它的长度等于大六边形的周长。同时，较小的六边形旋转所走过的距离大致与直线HT相等，但由它得到的直线将是不连续的：它由六边形的六条边以及边与边之间六个相等的缺口构成，如图所示：

根据萨尔维亚蒂的论述，适用于正六边形的情况，同样适用于任何多边形，那么，如果是一个圆呢？是否适用于圆呢？

如果适用，那么回到那个车轮悖论，也就是说，小圆走过的线段AB上，其实是有无数个真空地带，是由无穷多条线段间隔着无穷多个缺口构成的。

为此，伽利略甚至得出了一个激进并且矛盾的结论：一条连续直线是由无穷多个不可分点以及点与点之间的无穷多个微小间隙所构成。

这也就是说，这个世界是不连续的，这违背了自古以来人们认识连续体的指导方法。

伽利略的意思，套用到车轮悖论中，说的其实是，小圆走过的线段AB与大圆走过的线段AB其实并不相同，因为小圆AB上的点比大圆AB上的点要少。

乍看一下，很有道理，对不对？但这是错的。

这就引出了19世纪末的德国数学家康托尔，他是集合论的创始人。

首先问你一个问题，偶数和奇数哪个多呢？

你可能会说，一样多。没错，的确是一样多。

那，偶数和整数哪个多呢？

你想，整数=偶数+奇数，那么肯定是整数更多对不对？

错了，整数和偶数也一样多。

在集合中，我们说一样多的时候，指的是它们可以一一对应，比如，任何一个偶数都可以用整数来表示，它们之间有一一对应的关系，所以一样多。整数是N，那么偶数可以用2N来表示，它们是可以一一对应的。

其实这也说明，一条线段上的点和一个平面上的点，其实也是一样多的。小圆AB和大圆AB并不存在哪条线段点更多的问题，它们的点一样多。

回到车轮悖论，要破解这个悖论并不难，我们只要做一个实验就可以看出来，小圆划过的弧线与大圆划过的弧线并不一样，如图所示：

因此，我们并不能说小圆画出的线等于周长。再者，从物理学层面来看，大圆与地面是滚动，并且滚过的距离等于大圆的周长，而小圆不仅有滚动，还有滑动，且滑动摩擦力是与轮子运动方向相反的，看下图可能会更直观一点：

做个实验，我们将大圆与小圆换成有锯齿状的齿轮，且大圆与小圆的接触面都有与之一一契合的齿状线条，我们会发现，当我们滚动轮子的时候，大齿轮与小齿轮一起滚动，但小齿轮对应的齿状线条被推出来了，这也就表明，小齿轮与齿状线条之间存在滑动摩擦，小齿轮受到齿状线条与运动方向相反的滑动摩擦力，根据牛一定律，作用力与反作用力，齿状线条受到一个与齿轮运动方向相同的滑动摩擦力，因此齿状线条朝着运动方向前进了一段距离，且在理论上，齿状线条运动的距离等于大圆周长减去小圆周长。

悖论最神奇的一点就是，当你不知道其中的突破口时，你会很迷惑，但当有人告诉你其中的奥秘时，你会突然间恍然大悟，原来如此，这么简单！

真的简单吗？

其实这也引申出了一个问题，就是亚里士多德错了很多，我们是不是应该嫌弃他？

要知道，今天的我们拥有的知识远比亚里士多德时代多得多，甚至远多于伽利略时代，但我们比他们更聪明吗？不见得，我们只不过是站在巨人的肩膀上而已。饮水思源，如果没有他们一代又一代人的努力与智慧探索，我们可能现在还处于茹毛饮血的原始社会。

写这篇车轮悖论，实际上也是向伟大的亚里士多德致敬。

         

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