哥德尔：完备的世界不相容，相容的世界不完备，咋整？

            

这是【疯狂的智人】第 040 篇文章【疯狂的数学家】第 040 篇文章

不知从什么时候开始，哥德尔这个人的名字就进入了我的脑海，被我永远地记住了。与其说他是一个数学家，不如说他更是一个思想家。他的思想是深邃的，曾带给了我很多启发，而且每隔一段时间，我对他的了解也会更深一步。

在数学家看来，哥德尔是一个碎梦者，他拿着一把屠龙宝刀，敲碎了数学的终极梦想，同时，他也是一个引航员，一次又一次将我带到更高的世界。

库尔德·哥德尔于1906年4月8日生于玛拉维亚的布尔诺，这地方当时属于奥匈帝国，现在则属于捷克共和国。哥德尔的家族属于德国族裔，但这个家族几乎没有人在科学和数学上有过什么过人的天赋，一直到这个家族中出了哥德尔，他是家中的第二个孩子。

哥德尔从小就聪明，用了四年时间就学完了学校安排的八年教育，在他青少年时期，一战爆发，一战结束后，奥匈帝国解体，捷克斯洛伐克成了一个独立的国家。

哥德尔在学校中，各门成绩都很优秀，几乎都获得过第一，有意思的是，唯独数学他没有获得过第一。

1924年，哥德尔跟着哥哥鲁道夫一起前往维也纳大学读书，鲁道夫学了医，一开始，哥德尔本来想学物理，并提前做了很多准备工作。后来，他的导师带他进入了一个圈子，汇聚了当时很多有名有姓的科学家，他们一心想将数学和物理学建立在哲学之上。或许是这样的环境让他改变了当初的想法，他开始将注意力从物理学转移到了逻辑学。

哥德尔于1930年2月获得了博士学位，他的博士论文是有关“谓词演算”的，简单来讲，他提出了“谓词演算”中的完全性和相容性，所谓的完全性是指，所有真命题都可以被证明，所谓的相容性是指，只有真命题才能被证明，否则就是不相容的。

不过，在当时的环境来讲，一篇博士论文和一个博士学位并不能帮助他获得一份大学里的职位，还需要一个在大学授课的资格，也就是额外做点研究。他为了获得这份资格，选了一个非常具有挑战性的问题：证明作为数学基础的算术公理的相容性。

慢慢的，哥德尔亮出了他的屠龙宝刀，即哥德尔不完备性定理。关于其中的论证过程非常专业也非常复杂，我们只要知道，在一个数学体系内部，总存在一个在此体系中不能被证明的陈述，尽管该陈述的真实性是显而易见的。除此之外，如果一个体系是相容的，则这个相容性不能在本体系内部被证明。

举个形象的例子，比如“这个陈述是不可被证明的”，如果把它当成一个数学体系内的命题，如果现在我们动手去证明这个命题为真，而且最终我们做到了，那么我们就证明了这个命题，也就是说，这个命题是真的，即“这个陈述是不能被证明的”。如果我们动手去证明了，却没有任何结果，则恰恰说明了“该陈述是不可被证明的”是真的。

这就像是罗素悖论，更像是从古希腊就开始流传的“说谎悖论”，“我在说谎”，这句话无论怎么看都是一个悖论。

哥德尔的这个不完备性定理一出场就给当时的数学家和逻辑学家造成了剧烈的冲击。数学家们一直相信，每个可以准确清晰表达的数学命题迟早都可以通过数学的演绎推理方法证明其真伪，这一点是可以做到的，只是要看谁有这样的聪慧和机遇。正如希尔伯特所言：“我们必须知道！我们终会知道！”

然而，哥德尔的出现，说明数学里的有些命题无论是谁都无法证伪的。

可能很多人还是一脸懵逼，这究竟是什么意思呢？是不是太抽象呢，是不是对生活一点用都没有呢？

我在开篇也说了，与其说哥德尔是一名数学家，不如说是一个思想家，我们不从数学或逻辑的角度去讨论它，我们先来看几个好玩的故事，这可以帮助我们更好的理解哥德尔不完备性的精髓。

阿根廷有位作家叫博尔赫斯，他有一篇短篇小说叫《巴比伦彩票》，里面说巴比伦的彩票可以改变一个人的命运，但至于是好的命运还是坏的命运，就不得而知了，全靠运气。话说有一个奴隶，他很穷，根本买不起彩票，但他再也忍受不了身为奴隶的境遇了，想赌一下，希望能借助彩票来改变自己的命运。于是他就去偷了一张彩票，结果，他发现彩票的开奖结果是割舌头，是不好的。有意思的是，按照巴比伦法律，偷盗罪的处罚方式也是割掉舌头。

有意思的事情出现了，这个奴隶应该是以彩票的结果而被割掉舌头呢，还是以偷盗罪的罪名被割掉舌头？巴比伦的法律还有个规定，只有在犯人被割掉舌头的理由能被说清楚的时候，它才能被割掉舌头。如此，这个奴隶什么事都没有，尽管理论上，他应该被两次割掉舌头。

波兰作家斯坦尼斯拉夫·莱姆写过一篇科幻小说《机器人大师》，说有一个非常聪明的机器人制造师叫特鲁尔，有一次他给邪恶的国王麦迪隆制造了一个完美的顾问式机器人。造好之后，国王将特鲁尔赶走了，为的是白嫖这个机器人，不付工钱给他。特鲁尔如果想要拿到这笔钱，就必须和国王斗智斗勇，但他显然斗不过亲手制造出来的顾问式机器人。

特鲁尔后来想了个办法，他写信给自己的机器人，内容充满了夸赞与谄媚，机器人很聪明，他当然知道特鲁尔的计谋，无非是让国王对他产生怀疑。国王虽然认为这些信看上去无害，但里面肯定藏了一些秘密。后来，国王读到一封信，里面提到机器人顾问身上的紫色螺丝钉。读完信，国王马上命令手下拆掉机器人顾问，一直把机器人顾问拆到只剩下最后一颗螺丝钉。但是没有机器人顾问后，国王就再也敌不过特鲁尔超强的智力了，最后，只好把钱付给了特鲁尔。

以上两个例子可能会让人觉得，这好像和哥德尔不完备性定理没什么关系。实际上，定理的精髓恰恰说明了，每个正式的法律体系都存在矛盾之处。不论人们制定出了什么样的法律或规则，总有其应该适用却并不适用的场合。或者换句话讲，根本就避免不了法律会出现漏洞，制定新法弥补原来的法律漏洞后，会出现新的法律漏洞，只好再次制定新法。如此一来，只会周而复始，无休无止。

这种思维恰恰让我重新审视了理性主义，很多人可能会觉得，这个世界上有真理，唯一确定的真理，而且最可怕的是，这个唯一的真理就掌握在我的手中，因此其他人都是错的，都是不对的。而这正是落入了理性主义所设下的圈套。哥德尔不完备性定理恰恰说明了，人的理性是有边界的，是有局限的，因此，我们更应该去看看不同的世界，不要总是局限在自己的世界，并自信满满地认为自己所在的世界是正确无误的。因为，有些东西，在本体系内部，要么是不完备的，要么就是不相容的。

讲个有意思的事，以前在匈牙利，有些书被列为了禁书，买卖或阅读这些书，都是违法的。人们想知道这些禁书究竟都是些什么，结果一直没有成功，因为书单本身也属于被禁之列，书单成了一个哥德尔概念。

哥德尔不完备性定理告诉我们，要做一个开放的人，而不是一个封闭的人，因为矛盾无处不在。你觉得自己已经很圆满了，在自己的世界里洋洋得意，却不知，站在你世界外的人，一眼就可以看出你这个体系的矛盾之处。我就见过很多自信满满的人，说话前后矛盾，这就是不相容。当你将自己的思想和世界慢慢删掉，将矛盾的地方删掉之后，就结束了吗？不！这样的世界尽管相容了，但却是不完备的。

永远不要觉得自己是对的，因为所谓的“对”，只是在一定边界之内才是对。一个形式系统永远无法穷尽所有的真理，这也就是说，一个人的大脑，也永远装不下所有的真理。所以，做人要谦卑一点。何帆说过，能使人谦卑的学问，都是好学问，数学无疑就是这样的一门学问。

这也就是为什么当一个评论家很容易，因为你对着一个东西指指点点，说这不好那不对，非常容易，因为很容易就能找到这个东西不完备的地方，而当不完备消除掉之后，这个东西又会变的不相容，自相矛盾。（站着说话永远是不腰疼的，这在数学中也是成立的）

接着我们来谈谈哥德尔其他的一些思想，他认为，数学是实在的，比如他相信集合是客观存在的现象，除了集合之外，还有一个一样是客观的“集合”这个概念。这个概念与集合或时空中的物体一样，是独立于我们的存在。这也就是说，数学世界并不是我们所想像并构造的一个主观的世界，而是一个客观的、不以任何人意志的转移而转移的世界。

在1951年前后，哥德尔曾批评过主观创造论，他的理由是，如果数学是我们创造出来的，那么我们应该能够完全或近乎完全地了解我们的创造物，但很显然，我们并不能完全了解数学，其中还有很多我们并未证明或证伪的猜想存在。同时他也反对像卡尔纳普这类认为数学是一种语言的约定。

如果数学是一种语言的约定，那么我们就得保证语言规则是一致的，但由哥德尔不完备性定理得知，证明一些数学语言规则的一致性需要用超出这些语言规则的数学，因此，我们无法保证语言规则是一致的，除非我们引入另一种语言。

当哥德尔意识到理性的局限性之后，他转而开始证明上帝的存在，至于证明过程，则和他证明不完备性定理一样，非常专业也非常晦涩。总之，他证明了上帝的存在，但是请注意，他这个证明和安瑟伦的证明殊途同归。他证明的这个上帝也不是基督教中的上帝，也不是斯宾诺莎和爱因斯坦的上帝，而是形式的上帝。只不过这个证明是不完备的。

举个形象的例子，哥德尔证明了1+1=2，对的，这是对的，但是他将2定义成上帝，就显得有些不完备，因为我也可以将2定义成魔鬼，同样可以推导出一个换汤不换药的魔鬼存在。

关于哥德尔的其他思想，本篇内容只能是点到为止，有兴趣的朋友可以找些书来看，比如《上帝创造整数》和《二十世纪数学哲学》，会比较专业一点，但我保证，哥德尔的思想将使你受益终生，且每隔一段时间回头看，都能找到新的启发。因此，越早了解越好，不要等到大脑迟钝了，那时候可就不仅肉都吃不到，就连汤也喝不动了。

接下来讲讲哥德尔的世俗生活吧，他的妻子是一个比他大6岁的阿黛丽·尼姆斯布格尔，而且还是一个夜总会舞女。他俩相识于1928年末或1929年初。

1938年，德国吞并了奥地利，随着纳粹的不断抬头，哥德尔选择了前往美国。由于他德国人的身份，他害怕采取穿越大西洋直达美洲的路线：英国人可能会袭击并击沉他们所乘的船只。如果英国人俘获了他们则会因他们是德国公民而被拘留。因此，哥德尔夫妇绕了一个大圈子才到达美国：他们乘西伯利亚火车到达符拉迪沃斯托克，然后坐船到日本的横滨，最后乘美国的一艘旗舰才到达了旧金山。全部算起来，这趟旅行花了7个星期。

抵达美国后，哥德尔的注意力转向了宇宙学，在向爱因斯坦表示敬意的一卷文集中的一篇预约文章里，他构造了一个满足爱因斯坦方程的宇宙旋转模型。

哥德尔很快就和爱因斯坦成了密友，就在1947年哥德尔准备加入美国国籍的时候，差点因为他的聪明而出了岔子。在那段时间，哥德尔非常认真地准备考试，仔细研究宪法，发现了一个他所谓的逻辑漏洞。他坚持认为，这种内在的不一致性将使整个政府沦落为zhuan制。

▲ 爱因斯坦与哥德尔

爱因斯坦得知哥德尔的举动后，吓了一跳，不放心这位朋友，于是决定陪同他到特伦顿参加入籍考试。在路上，爱因斯坦和另一位朋友在途中试图让哥德尔分散精力，劝他不要提这个缺陷，但不管用。当主考官问他对宪法有何看法时，哥德尔开始论证其内在的不一致性有可能会导致独cai。幸运的是，考虑到他与爱因斯坦的关系，主考官及时打断了他：“你不必详谈了。”

于此，哥德尔才保住了他的国籍。

可能是哥德尔发现了这个世界的内在矛盾，他的精神一直都不好，他的身体状况和精神状态在他最后三十年中逐步恶化，他甚至与世隔离，患了抑郁症和被害妄想症。当一些数学家从欧洲来到普林斯顿的时候，哥德尔拒绝与他们会面，理由是害怕他们想要杀死自己。

哥德尔吃的也越来越少，从1946年起他记录了他使用轻泻药的消耗量，在1951年，他需要到医院去处理他的流血性溃疡，处理之后他便为自己定下了一个非常严格的饮食安排，包括每天四分之一磅黄油，三只整鸡蛋和两个蛋白，几乎不用肉食。到1954年后期，他又经受了另一回合的严重抑郁症。毫无疑问，他能从这些情况中恢复过来一定是由于阿黛丽的温柔的，充满爱心的照顾。

遗憾的是，阿黛丽先哥德尔而去，她再也没有办法照顾丈夫的生活。到了1970年代，他变得更加怪异，以至于别人将他称为“活僵尸”。

1978年1月11日，哥德尔去世，享年73岁。他离开这个世界的时候，只剩下了65kg的体重，死亡鉴定是绝食至死。

后记：

在20几岁的年纪就接触到了哥德尔，现在想来非常幸运。这个年龄段，我的大脑还处于黄金时期，因此尽管他的很多论证过程我也看得云里雾里，一点都看不懂，但我却能深刻体会到他的思想。

自从接触到哥德尔之后，我有意识地让自己变得更开放，对于别人不同的言论，我尽量让自己做到不在第一时间反驳，而是先听听看他怎么讲的。就算是不认同他的观点，我也知道，这并不代表我是对的他是错的，而是这个世界本身的矛盾。我努力让自己的世界尽可能的相容，也随时接受其他的世界。这或许就是我看书，从来不会紧盯着一个领域看，因为只看一种类型的书，会让我变得越来越狭隘。

有的时候，当我觉得自己的想法已经很好的时候，我会去和其他人交流，以局外人的视角，来审视自己的想法，我也能发现很多之前被我忽略掉的点。

数学家，到此结束了，尽管还有很多数学家没有被写进来，但我已经累了，该休息休息了。也许，之后会再做补充。

还是那句话，我很幸运，在即将30岁之前，就接触到了这些数学家，他们让我的生命变得更加精彩，也更加从容了。之后的日子里，我会不断在20几岁的基础上，继续发现他们，继续挖掘他们。

数学家，是我们世界的瑰宝，不分国籍，不分种族。他们为我打开了一扇扇新的窗口与视角，在即将到来的百岁人生中，给了我一根稳固的木浆。也许，我也会在今后的人生中迷路，但我相信自己终究会走出短暂的迷宫。

数学，究竟给了我什么？我想，是给了我边界与谦卑，有了边界，我就不会做出不合时宜的行为，有了谦卑，我才能不断吸收外界的能量，择其善者而从之，其不善者而改之。

所谓的边界，可能就是中国的那句古训“到什么山上唱什么歌”。

当数学朝着你走过来的时候，不要慌张，不要害怕，勇敢地上去抱住他，他很可靠，是一个值得信赖的朋友，同时，他也会站在你的立场，站在你的角度，帮你分析目前的处境。他从来不会自以为是地认为，你应该怎么样，他只会告诉你，你可以怎么样。或许你会受到震撼，原来还可以这样！

数学，不会终结，数学，他一直在诗与远方的那块麦田，迎接不停奔跑着的你。

         

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