阿基米德：闪开！别动我的圆！

            

这是【疯狂的智人】第 003 篇文章【疯狂的数学家】第 003 篇文章

公元前334年，随着亚历山大的东征，古希腊世界逐渐没落，随后进入了亚历山大时期。可惜的是，亚历山大英年早逝，他死后，整个地中海世界进入了后亚历山大时期。

当光荣逐渐从古希腊身上褪去之后，伟大的古罗马从意大利半岛冉冉升起。

相比于古希腊的形而上，古罗马则更加务实一点，像老毕和他的门徒那样整日整夜沉醉于自己所创造的数世界，这种情况在古罗马是断然不会发生的。

亚历山大东征约100年后，西西里岛上的叙拉古诞生了一位伟大的科学家，他就是阿基米德，简称阿米。阿米的父亲是一位天文学家，据说他还是叙拉古国王的亲戚。像很多天才的人一样，当阿米醉心于自己的研究时，他总是忘乎一切，忘了吃饭，忘了洗澡，甚至忘了自己是谁。我们不知道阿米若是一个人生活在深山老林之中会不会因为忘了吃饭而把自己饿死，但有一点毋庸置疑，他总是被身边的人拉着去吃饭。

阿米年轻的时候在亚历山大里亚城上过学，在那里他认识了两位志同道合的朋友，一个是数学家科农，另一个也是数学家，埃拉托色尼。

在数学上，阿米的研究方向与老毕和欧爷都不同，老毕沉迷于自己的数世界，欧爷则更倾向于平面几何中的直线，尽管他也研究过关于曲线的问题，比如圆，但和阿米比起来，欧爷走的是横平竖直的直线，而老米则喜欢绕圈子，走曲线。

各位都看过四驱兄弟吧，欧爷是弟弟星马豪，跑起直线来贼溜，而阿米则是哥哥星马烈，在弯道上更胜一筹，至于那个爬墙壁的三角箭鹰羽龙，我暂时还想不到谁可以与之相提并论。

大约在公元前225年，阿米写了一部《圆的测量》，这本书非常薄，但也非常令人头疼。当时的数学家已经知道了，对于一个圆来讲，它的周长与直径之比是固定的，是一个常数，现代数学家将这个比例定为π，而当时的数学家却还不知道，他们只知道，这个比值是一个固定的值。

那么问题来了，圆的面积该怎么求呢？

运用现代小学数学知识，我们知道，圆的面积S=πr²

但当时的数学家对此一无所知，至少不像我们那样一看就知道。欧爷在他的《几何原本》中证明了，两个圆的面积之比等于两个圆直径的平方比，也就是说圆的面积和直径的平方之比也是一个定值，是一个常数。欧爷将这个比值称作“k”。

阿米在《圆的测量》中，比欧爷更进一步，将圆面积与圆周长联系在了一起，就比如两个世界，一个世界是圆的周长与直径之比，另一个世界是圆的面积与直径平方之比，这两个世界是否可以融合在一起呢？

阿米证明，可以，π就是这两个世界的沟通桥梁。

每一个数学家手上都有属于他自己的屠龙宝刀，比如老毕，他的屠龙宝刀就是将提出问题的人扔进海里淹死，而阿米手中的宝刀，被称为双重归谬法。

老毕：你讲你的阿基米德，老牵扯我做什么？我们无冤无仇，你到处黑我，你礼貌吗？

那么问题来了，什么是双重归谬法呢？

简单来讲，双重归谬法就是反证法，是反证法的平方。比如两个数值，它们之间的关系只有三种可能性，一种是大于，一种是小于，另一种则是等于。如果我们用两次反证法证伪了其中两种情况，则另一种情况就是正确的，且不需要证明了。

首先我们来看一个正多边形的面积，给定一个正多边形，它有n条边，因为是正多边形，因此每条边b都是相等的，正多边形的中心为O，周长为Q，我们可以得到，Q=bn，正多边形的边心距为h，也就是从正多边形的中心O出发，到每条边长的距离，它们都是相等的，记为h。

好，问题来了，这个正多边形的面积是多少呢？

其实非常简单，我们将这个正多边形可以分割成n个等腰三角形，那么这个正多边形的面积就是n个等腰三角形的面积之和。

我们只要来求一下一个等腰三角形的面积就可以了，非常简单，S=1/2bh，其中，b是正多边形的边长，h是边心距。

那么正多边形的面积就是n个S=1/2bh相加，我们将1/2h提取出来，那么正多边形面积T=1/2h（b+b+b+…+b），那么究竟有多少个b相加呢，是n个。那么n个b相加是什么呢？就是正多边形的周长。因此，我们可以很容易得出，正多边形的面积就等于hQ/2

好，接下来我们就要亮出阿米的屠龙宝刀了，我们需要借助两张图，一个是以O为圆心，半径为r的圆，很显然，它的周长就是C=2πr，我们再做一个直角三角形，其中，一条直角边是r，另一条直角边则是圆的周长，也就是2πr。

圆的面积记为S，直角三角形的面积记为A，那么请问，S与A之间什么关系呢？是大于，还是小于，还是等于呢？

阿米运用双重归谬法，先用反证法证伪了S大于T的可能，再用反证法证伪了S小于T的可能。最终，两刀砍下去之后，阿米证明了，S=T，因为S＞T被证伪了，S＜T也被证伪了，那么只能是S＝T了。（需要在圆内内接正多边形）

到了这步，阿米就很容易得出了圆的面积S=πr²，因为这正是那个直角三角形的面积T=1/2rC，而C=2πr。

问题是否到此结束了呢？

没有，因为这一切只是在理论上可行，在现实中根本不可行，因为你根本无法精确画出那个直角三角形。要成功解决圆的面积问题，就必须要作出与圆面积相等的直线图形。而阿米证明了，这做不出来，臣妾也没有办法。

现在我们知道为什么昨=作不出，因为这涉及到了π，而π是一个无理数，无限不循环小数。

不过，在《圆的测量》这本书的后面，阿米证明了π的上限与下限，这个过程极其复杂，在圆内内接正多边形，先是正六边形，而后正十二边形，不断给这个正多边形加倍，一直到正九十六边形，其中涉及到正十二边形的周长时，阿米需要计算根号三。在当时没有计算器的年代，阿米孜孜不倦，用手算的方式，算出了一个较为精确的值。通过这个办法，阿米估算出了π的下限，它必然大于3又10/71

你以为这就完事了？哪有那么简单！

内接完正多边形之后，阿米又外接正多边形，从正六边形、正十二边形，以此类推，接到了正九十六边形。如此，阿米估算出了π的上限，它必然小于3又1/7

这样估算下来的π值，已经可以精确到小数点后五位了。

搞完二维平面的圆之后，阿米又去搞三维平面的圆柱体和圆球去了。

《论球与圆柱》是阿米的另一本名作，他在该书中确定了球体及有关几何体的体积和表面积。之前，欧爷已经证明了，两个球体的体积之比等于其直径的立方比。换言之，存在一个“体积常数”m，使得，V球=mD³

然而，欧爷似乎只关心球体的体积，而对球体的表面积闭口不谈，这就给了阿米继续发展的空间，他运用穷竭法，再加上手中的屠龙宝刀“双重归谬法”，他得出了球体的表面积是4πr²

阿米自己也兴奋不已，在给朋友的信中，他低调地宣称，自己并非发明或创造球体表面积的人，而只是发现了圆中的一个永恒不变的性质。

接着，阿米再接再厉，得出了球体体积的公式V球=4/3πr³

搞完球体之后，阿米又去搞圆柱体了，经过一系列的研究之后，他宣称，圆柱体的表面积和体积都等于球体的一倍半！

除此之外，阿米还搞过抛物线，在其著作《抛物线求积法》中，他再次借助穷竭法，深入探讨了曲线之谜。现实生活中，所有的曲线都近似抛物线，但对阿米而言，抛物线是这样一个玩意儿：用平面截切锥体得到的曲线。

抛物线有一个对称轴，是左右对称的，假如我们用一条直线将抛物线捷成两段，如下图所示，那么问题来了，直接截取的这个弓形面积，是多少呢？

如果你学过微积分，那么你很容易就能算出来，但是如果没有微积分呢？

这就要用到穷竭法和阿米的屠龙宝刀“双重归谬法”了。

我们作一条与截断抛物线直线相平行的直线，与抛物线的顶点相交，这样我们就会得到一个三角形。接着，我们将这个大三角形的两条边作为基础，继续之前的办法，又得出了两个小三角形。以此类推，我们可以将这个弓形不断分割，得到无穷无尽的三角形。阿米证明了，每个新构建三角形的面积都是上一层级三角形面积的1/8。

最后要求弓形的面积，就相当于求S=1+1/4+1/16+1/64…

等式两边同时乘以4，我们会得到：4S=4+1+1/4+1/16+1/64…（4S=4+S）

最终我们求得S=4/3

而大三角形的面积是一个单位，因此我们得到，弓形面积是大三角形面积的4/3倍。

对于无穷，阿米承认他有些还不严谨的地方，他认为，任何想要测量曲线形状（边界长度、面积或者体积）的人，都必须尽力小心应对无穷小部分的无穷级数和的极限问题。

很多人认为，阿米已经摸到了微积分的边，但一份近代发现的材料表明，我们有理由相信，阿米已经创造了微积分，这可比牛顿和莱布尼茨早了一千多年。

1998年10月，一本破旧的中世纪抄本参与了一场拍卖，最终被一位匿名商人以200多万美元的价格拍下。这份抄本上面是用拉丁文写成的祈祷内容，但隐约可以看见被擦去的希腊文。后来在现代技术的帮助下，被擦去的希腊文得到了复现，令人大吃一惊。原来这些抄本包括了阿基米德的七篇著作：《论平面平衡》、《论球与圆柱》、《圆的测量》、《论螺线》、《论浮体》、《方法论》和《十四巧板》。其中前面五篇都见怪不怪了，大家都知道，最后两个《方法论》和《十四巧板》是之前从未出现过的。

新发现的这些材料证明，《方法论》中的内容已经十分接近近代微积分，这里有对数学上“无穷”的超前研究！

因此，若是让阿米多活几年，说不定人类在公元前的世纪就已经发明了微积分这个工具，而阿米并非自然死亡，让他多研究几年，是完全没问题的。

阿米的家乡叙拉古后来卷入了罗马与迦太基之间的布匿战争，阿米用自己在物理学上的研究成果，制造了几辆投石车，成功抵挡了罗马人的入侵。但后来，罗马人还是攻入了叙拉古，几位罗马士兵看见了正在研究数学的阿米，将他戳死了。

阿米临死前留下的最后一句话是：“别动我的圆！”

罗马指挥官将杀死阿米的士兵当作杀人犯予以处决，然后为阿米举行了隆重的葬礼，并为阿米修建了一座陵墓，在墓碑上根据阿基米德生前的遗愿，刻上了"圆柱内切球"这一几何图形。

一代天才，就这样离开了这个人世。在天堂，或许再也没有人提醒他到点要去干饭了，他终于可以一个人，离群索居式的，静静地研究他的圆和球体。

或许有一天，当你仰望星空之时，你会从那深邃的银河中，听到阿米传来的呼喊，那声音，即使穿过了千年的时光也依旧清晰，正如他的圆一样，他在说：“兔崽子，别动我的圆！”

         

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