牛顿：伤了我，休想全身而退！
这是【疯狂的智人】第 009 篇文章【疯狂的数学家】第 009 篇文章
艾萨克·牛顿的确是一个天才，但他可能并不适合当朋友。
牛顿是一个睚眦必报的人，比如有一次，牛顿在上学路上，被一个同学踢了一下肚子，牛顿既没有回击，也没有与其争吵，而是默默记下了此仇。那天放学后，牛顿将这个人带来了一个没人的空地上，二话不说就上去拳打脚踢，胖揍了一顿。虽然牛顿没有欺负他的同学健壮，但他斗志高昂，就像他日后研究万有引力时一样，意志坚定，一直打到对方求饶，而且据说为了羞辱这个欺负自己的小霸王，牛顿将他的鼻子摁在了教堂的墙上。 再比如，胡克，这位同时期伟大的科学家，生前与牛顿不对付，结果导致了他死后，牛顿利用手中的职权，将他的雕像和肖像全毁了，以至于至今没人知道胡克究竟长什么样，倒是牛顿自己的那个大波浪，早已深入人心。
不过，同时期疯狂的天文学家哈雷与牛顿关系处得不错，牛顿那本《自然哲学的数学原理》最终得到出版，哈雷也贡献了不少力。当牛顿与胡克还在争论一些有的没的时，哈雷作为俩人之间的润滑剂，一直宽慰牛顿。否则，以牛顿的暴脾气，他很有可能直接不出版了。 牛顿出生于1643年1月4日，很多人以为这一天正好是伽利略去世的日期，实际上，伽利略去世于1642年1月8日。说牛顿出生于1642年圣诞节的，是按照旧历算的。 牛顿的出生并非锦衣玉食，这点与法国的拉瓦锡是不能比的，人家拉瓦锡是贵族出生，一辈子不缺钱，可以专心致志地稿科学研究，而牛顿显然没有这个条件。 牛顿的童年是不幸的，因为他的爸爸在他出生前就去世了，他的妈妈在他三岁的时候改嫁。改嫁之后，牛顿被“抛弃了”，这让他从小就有一种失落感，这样的经历影响了牛顿的性格，也影响了他一生。我们有理由相信，正是这种童年时期的成长环境，造就了牛顿日后带刺的性格。
很显然，牛顿在物理学与天文学上的贡献远远超过了在数学上的贡献，但这里是【疯狂的数学家】，因此只讲牛顿与数学之间的故事，至于他在其他领域上的贡献，就等着【疯狂的物理学家】和【疯狂的天文学家】里的牛顿出场吧。 一份注明日期为1665年5月20日的手稿表明，牛顿在23岁时已经充分发展了微积分的主要原理，能够用它找出任何连续曲线在任何给定点的切线和曲率。他称他的方法为“流数法”——出自“流动”或变量以及它们的“流率”或“增长率”。在这以前他发现了二项式定理，这是向完全发展微积分迈出的重要一步。 年轻时的牛顿经过对二项式展开的研究，想出了一个可以直接推导二项式系数的公式，而不必再繁琐地构造三角形，只要将其延伸到所需要的那行了。并且，他坚信，凡是模式就一定能始终适合同类的问题，因而他猜想，能够正确推导出诸如（a+b）²或（a+b）³这类二项式系数的公式，也应该适用于像（a+b）^1/2或（a+b）^-3这种形式的二项式。
最后，牛顿得出结论：1-x=（1-1/2x-1/8x²-1/16x³-…）²，换言之，根号（1-x）=1-（1/2）x-（1/8）x²-（1/16）x³-…
牛顿的二项式定理，其实可以求一些开方运算，比如根号7，这是一个无理数。在没有计算器的帮助下，会让很多人望而生畏，不知道该怎么求。 好，我们将其转换一下，7=9（7/9）=9（1-2/9）
因此，根号7=根号9（1-2/9）=3根号（1-2/9） 我们将其展开，只要将上面的x换成2/9就行了，得：根号7≈3（1-1/9-1/162-1/1458-5/52488-7/472392）≈2.64576 用这个办法求出来的值，可以精确到小数点后四位。有人说，这也很麻烦，想一想，那是一个什么年代，没有计算器的年代哦。 而且，我们还可以用这种办法求立方根，四次方根的近似值。 牛顿无疑是一个站在巨人肩膀上的人，他从笛卡尔那里继承了解析几何，从开普勒那里继承了行星运转轨道。根据开普勒的三大定律，牛顿开创了自己的三大运动定律，其中第二条是有关变量的问题，和变化率有关。 变化率让牛顿产生了好奇，我们都知道，动量是物体的质量乘以速度。当然，这里的质量是不变的，如果物体运动的速度接近光速，那么它的质量就会增加，但这显然跑题了，属于爱因斯坦的管辖范围，牛顿管不着。 要考虑动量的变化，就要回到速度的变化，而速度其实就是位置的变化率。牛顿找到了解开这一谜题的钥匙，不管这个质点的运动是多么不规律，只要运用微分，就会变得异常清晰。 由变化率产生的另一个问题又使牛顿找到了另一把钥匙，就是积分。怎样计算一个速度每时每刻都在变化的运动的质点在给定的时间内跑过的全部距离呢？在解答这类问题时，积分学从牛顿手中诞生了。 微分和积分融合在一起，就成了微积分，在当时的牛顿手稿中被称为流数，借助这个合二为一的新工具，牛顿后来发现了万有引力定律。 函数这个词最早是莱布尼茨于1694年引入的，比如，我们假设一个y与x的函数，形如y=f（x），那么y相对于x的变化率，也就是y相对于x的导数，是怎么下定义的？ 我们再假设，给x一个增量，△x，使x=△x+x，而y就成了f（△x+x）。随着x的变化，y也跟着变化，y的增量就是△y，是y的新值减去原来的值，即Δy=f（x+Δx）-f（x）。 我们取y的增量与x的增量相除的结果，也就是△y/△x，作为y相应于x的变化率的粗略近似。
但这显然很粗糙，我们令△x无限减少，逼近于零，在这个过程中，△y也不断减少，最终趋近于零。但有意思的是，△y/△x的比值不可能趋于零，而是有一个确定的极限值，它就是所要求的y相应于x的变化率。 当年的贝克莱主教就敏锐发现了其中的这一个问题。牛顿并没有给无穷小给出清晰的定义，因此就造成了一个尴尬混乱的局面。 关于无穷小，比如我们计算一辆车子的速度，平均速度很好计算，开过的路程除以时间就是答案，但是瞬时速度呢？我们就要去求无限小时间内的平均速度，约等于瞬时速度。问题来了，这个无穷小的时间可以为零吗？
贝克莱就发现了其中的猫腻，因为牛顿曾给出过三种不同的解释，1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。于是，贝克莱问牛顿，这个无穷小可以是零吗？如果是，它又怎么作为分母呢？要知道，从最基础的数学来讲，分母是不能为零的；如果不是，那这个瞬时速度还是平均速度吗？约等于不等同于等于啊。 对于贝克莱的质疑，实际上连牛顿也不知道该如何是好，莱布尼茨也对此束手无策，这就引发了数学史上的第二次危机，简而言之就是“一个无穷小带来的危机”。这场危机，历经好几代人的努力，最终，是柯西在1821年的《代数分析教程》中给解决了，他从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量。
微积分的稳定大厦，在一开始的时候被贝克莱撞了一下，摇摇欲坠，直到一百年后的柯西时代，才趋于稳固。 好，继续回到微积分，在物理学中，最显而易见的变化率就是速度与加速度，这是力学中的两个基本概念。速度是距离相对于时间的变化率，加速度是速度相对于时间的变化率。当然，这里的时间是不变的，随着物体运动速度的增加，时间变慢的效应，还是属于爱因斯坦的管辖范围，牛顿管不着。 这里就引出了变化率的变化率，或称二阶导数，因为在加速运动过程中，速度不是一个常量，而是一个变量，因此它就有变化率。而加速度则是距离的变化率的变化率，两个变化率都相对于时间。 当然，有二阶导数就会有三阶、四阶甚至更多阶的导数，但一般而言，在微积分中，最重要的是一阶导数和二阶导数。 牛顿通过解析几何，算出了π的近似值，这怎么做到的呢？其实很简单。 首先，我们来画一个笛卡尔直角坐标系，以点（1/2，0）为圆心，1/2为半径画一个圆。我们就会得到这个圆的方程式：（x-1/2）²-（y-0）²=（1/2）²，展开来，得：x²-x+1/4+y²=1/4
好，我们截取其在直角坐标系中第一象限的半圆，我们可以得到半圆的方程式为：y=根号（x-x²）=根号x根号（1-x）=（x^1/2）（1-x）^1/2 好，接着我们将（1-x）^1/2用二项式定理展开，得：y=（x^1/2）（1-1/2x-1/8x²-1/16x³-…） 接着，我们在创造一个点B，位于（1/4，0）处，作一条过点B垂直于x轴的垂线，与半圆相交于D点，然后求阴影ABD的面积。 这个时候，牛顿的微积分派上用场了，最终我们算出来阴影ABD的面积约等于0.07677310678 我们再来求一下扇形ABD的面积，其等于半圆面积的1/3，得π/24 看下图，很容易得到，阴影ABD的面积=扇形面积-三角形DBC的面积，而三角形DBC的面积很好求，底乘高的一半。然后我们得0.07677310678=π/24-根号3/32
最终我们算出了π的近似值，约等于3.141592668 牛顿的天才之处在于，只用了二项式展开的前九项，就使其π值精确到小数点后7位，而且误差非常小，不超过0.000000014 1716年，牛顿74岁，他的老对手莱布尼茨向他提出了一个困难的挑战，实际上，这是欧洲大陆对英伦三岛的挑衅。牛顿在下午5点接受了挑战，当天晚上就解决了这个问题。牛顿天才的地方还在于，他能够在顷刻间将所有的智力都集中在一点上，这种能力，在整个世界史上都难以找到第二个人。 1727年3月20日，牛顿于凌晨在睡梦中去世，享年85岁。他是一个极其幸运的人，哪怕是到了晚年，生命中的最后几年，尽管他要不间断忍受结石病的折磨，但身体的其他方面都还算健康。 或许，在被结石病困扰的那阵子，牛顿想起了年少时欺负自己的恶霸，他乐观而豁达，再一次选择了隐忍，这次隐忍主要针对疾病的折磨。面对困难，他毫不畏惧，即使痛苦，他也说着感恩的话。（牛顿年轻时可能年轻气盛，脾气不太好，但中国有句话叫“人之将死其言也善”，或许晚年的牛顿，与自己和解了，也与曾经的对手和解了） 牛顿，就像那黑夜里的一颗流星，划过了夜空。上帝说有光，于是有了牛顿。
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