费马：史上最欠揍的数学家，也许打一顿就老实多了
这是【疯狂的智人】第 006 篇文章【疯狂的数学家】第 006 篇文章
如果说要从数学史上拎出一个最欠揍的人，我想，可能皮耶·德·费马会榜上有名吧，以这人命名的“费马大定理”足足折腾了整个人类三百年，直到上世纪末才在英国数学家怀尔斯的手中得到了证明。
他最欠揍的地方在于，他总是吊人胃口，看下去你就知道了。 费马是17世纪的人，他是法国的一个律师，数学上只是业余，因此也被人们称为“业余数学家之王”。 费马的父亲在当地开了一家大皮革商店，因此费马的生活是衣食无忧的。虽然他大学学的法律，但在还没毕业就已经买了一个官职。平心而论，费马不适合当官，他的政绩始终没什么突出的地方，但他人品还不错，从不接受贿赂。而且他的一生极其平淡，几乎找不到什么八卦的地方。
在费马活着的时候，几乎没有人知道他在干什么。在1629年之前，他就自己重写了公元前三世纪古希腊几何学家阿波罗尼奥斯失传的《平面轨迹》一书。他用代数方法对阿波罗尼奥斯关于轨迹的一些失传的证明作了补充，对古希腊几何学，尤其是阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究。并于1630年用拉丁文撰写了仅有八页的论文《平面与立体轨迹引论》。 我们都知道，解析几何是笛卡尔的发明，但是从一些当时费马与他的数学朋友的书信中，我们有理由相信，他和笛卡尔独立发明了解析几何。 如果说笛卡尔是从一个轨迹来寻找方程的解，那么费马则是用方程来追踪轨迹。 早在牛顿和莱布尼茨之前，就已经很很多数学家对微积分的诞生做出了贡献，费马就是其中之一，他建立了求切线、求极大值和极小值以及定积分方法。 1621年，费马在巴黎买到了一本古希腊丢番图的《算术》一书，他利用业余时间深刻研读了此书，开创了数论这个数学上的独立分支。
在研究数学的时候，费马创造了两大猜想，于今天来讲，因为这些猜想已经被证明了，所以又叫费马大定理和费马小定理。（否则就成了费马大猜想和费马小猜想了）
费马小定理说的是：如果n是任意正整数，p是任一素数，那么n的p次方减去n，可以被p整除。这里说明一下，素数指的是一个数只能被其本身和1整除的数，一般人们也叫它质数。
举几个例子方便大家理解，比如我们取p=3，n=5，则5的3次方减去5，得120，而120可以被3整除。再如，我们取p=11，n=2，则2的十一次方减去2，得2046，2046=11*186，可以被11整除。 费马在一封信中写下了这个定理，但一如既往的，他没有给出证明方法，而是在信中说：“如果不是怕这个证明太长的话，我就邮寄给你了。” 你就说这句话欠不欠揍吧！ 第一个证明是莱布尼茨给出的，但第一个公开自己证明这个小定理的数学家是欧拉，他为了这个小定理前前后花了七年的时间。 实际上，在费马的一些手稿中，人们发现了一些蛛丝马迹，他确实描述了一种比较简便的方法，被称为“无穷递降法”，这种办法，我觉得就像爬梯子，其实说穿了也就是“数学归纳法”。 在证明这个小定理之前，我们先来一些准备工作。 如果一个素数p能够整除a*b*c*d…这个数，那么p就一定能够整除a、b、c、d…这些因数中的至少一个。这个定理实际上已经在2000多年前就被欧几里得证明了。其中要注意的是，p是素数，如果p是非素数，那么这个定理就不对了。 下一步，我们来看二项式，直接给结论，p可以整除（n+1）^p-(n^p+1)，这个二项式可以在牛顿那里找到证明方法。（其中，p是素数，n是正整数，下面一样） 同样的，p也可以整除（n+1）^p-（n+1）。
让我们回到费马小定理，“如果n是任意正整数，p是任一素数，那么n的p次方减去n，可以被p整除”，实际上，这等价于求证“p是n^p-n的一个因数”。 最简单的办法，我们用代入法，当n=1时，就变成了“1^p-1”，1的任何次方都是1,1-1=0，p当然可以整除0，实际上，任何正整数都可以整除0。 现在，我们已经证明了p是“1^p-1”的因数，用上面那个定理（n+1）^p-（n+1），我们可以得到（1+1）^p-(1+1)能被p整除，这也就是2^p-2。以此类推，当n=3.4.5…的时候，定理同样成立。 如此，费马小定理破矣！
费马还有过一个猜想，他声称自己发现了一个始终能生成素数的公式，这个初看上去比较复杂，涉及到次方上面还有次方，我们令m=2^n，那么费马认为，p=2^m+1都是素数。 显然，当n时最初几个数的时候，费马的这个公式是对的。比如，当n=1时，m=2，p=5，很明显，5是素数。当n=2时，m=4，p=17，也是素数。当n=3的时候，m=6，拿着计算器或手算一下，得p=257，也是素数，当n=4时，p=65537，花点功夫，也能知道他是素数。 但是当n=5的时候，P就是一个天文数字，4,294,967,297，一般人可能在不借助计算机的情况下，用几年时间都不知道它是否是素数。 后来，欧拉证明了，当n=5时，p不是一个素数，它可以分解成两个因数的乘积。有意思的是，欧拉用的正是费马小定理破掉了费马的这个关于素数的猜想。 当n=6.7.8，其实p也不是素数了，只不过每走一步，p也就越来越大。 欧拉比费马小了一个世纪，在这一个世纪当中，无人敢挑战费马的各种猜想，主要也是计算量太庞大了，而欧拉是一个心算贼厉害的人。 欧拉还证明了费马的另一个猜想，某些素数可以写成两个数的平方和。我们都知道，除了2以外，其余的素数都是奇数，因为任何偶数都可以被2整除，也就不符合素数的标准了。如果我们用4去除一个大于4的奇数，那么我们会得到要么是1，要么是3的余数。换句话讲，如果p是大于2的素数，那么我们可以得到，p=4k+1或p=4k+3，其中，k是正整数。 在1640年左右，费马猜想，对于前者，p=4k+1，它能以一种方式且仅有一种方式写成两个完全平方数之和，而对于后者，p=4k+3，则无论如何也无法写成两个平方数之和。 比如当p=193时，p=（4*48）+1，它能被写成p=144+49，即p=12²+7²，而其他形式的平方和都不可能等于193。而素数p=199=（4*49）+3则无论如何也无法写成两个平方数之和。 一百年后，1747年，欧拉证明了它。 后人根据费马的手稿，发现要证明这个定理，要用反证法。 我们先假设，如果一个形如4k+1的任一选定素数不是两个平方数的和，那么将会有同样性质的另一个数，比选定的那个数要小，因此接下来会有第三个更小的数。以此类推，我们最后回到了数字5（也就是4*1+1），这是形如4k+1的所有数中最小的一个，很显然，如果假设是正确的，那么5就不能写成两个数的平方和。但现实情况是，5可以啊，5=4+1=2²+1²，因此，我们用反证法可以证明。 在讲费马大定理之前，我们先来介绍一下丢番图方程。丢番图是古希腊的著名数学家，它留下来的墓志铭非常有意思，我在【光荣希腊】中的末尾讲过，这里就不重复了。
我们来看一个数字27，它可以写成27=25+2，显然，27和25都是某一个数的平方或立方，那么这也可以写成3³=5²+2，我们通过观察就能得出，y³=x²+2这个方程有一个整数解。需要注意的是，这里的xy都是整数，如果不是整数，那我们就有无穷多的非整数解满足此方程，那就没意义了。 我们找到了这个方程的一组整数解，那么问题来了，这个方程有没有其他的整数解呢？费马证明，没有其他的整数解了，而且他的老毛病又来了，没有给出证明过程。这个证明直到他死了好几年后，才有人给出。 费马有个习惯，在阅读丢番图的《算术》这本书时，喜欢在空白处写点猜想，他在某一处的空白处写下了那个著名的费马大定理（概括如下）： 当n>2且为整数时，则方程x^n+y^n=z^n无整数解，xyz均不为0。
他写道：“我已经发现了一个真正奇妙的证明，但是这个空白太窄了，我写不下！” 你就说费马这人值不值得拉过来暴打一顿吧！ 但是，正因为这个大定理，费马就足以名留数学史，虽然他是业余的。后世，无数的仁人志士耗尽所有精力投入到了对这个定理的证明之中，均败下阵来。一个费马大定理，其实可以将整个人类近代以来的所有数学都串联起来，你就说这有多厉害了吧。 就连欧拉和高斯都无能为力，尽管欧拉也做出了一些突破，但都是杯水车薪，莱布尼茨甚至直接认为费马是瞎写的。 我们大概可以推断出，在费马那个年代，要证明他的大定理，几乎是一件不可能的事，除非他自己就发明了后来的很多工具。至于费马是真的发明了，而吝啬地没有记录下来呢，还是正如莱布尼茨所言，费马压根就是瞎写的，恐怕也没有人能够知道了。
我们唯一可以确定的是，费马这人，很欠揍，也许打一顿，他就老实多了。
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