欧几里得：数学界的祖师爷，开创后世公理化的蓝本
这是【疯狂的智人】第 002 篇文章【疯狂的数学家】第 002 篇文章
如果要在整个世界史中挑选出三位最具代表性的数学家，我想，欧几里得必然会榜上有名。甚至我认为，欧几里得是数学界的祖师爷。
可能会有朋友有疑问了，毕达哥拉斯不是比欧几里得还早的数学家吗？的确，在时间上来看，老毕早于欧几里得两个世纪，而且老毕在数学上的成就也不容小窥。但有一点毋庸置疑，欧几里得在数学上的最大贡献在于提供了一套研究数学的范式，也就是公理化，单凭这一点，将其称为欧爷也不过分。 那么，什么是公理化呢？ 公理化是一种方法，属于方法论的范畴，指的是，在一个数学理论系统中，从尽可能少的原始概念和一些不加证明的公理出发，用纯逻辑的方式来演绎出一套完整自洽的数学体系。 比如欧爷的《几何原本》，这恐怕是数学史上的《圣经》了，很多数学家就是从这本书中找到了对数学的乐趣，比如帕斯卡，甚至就连爱因斯坦也说：“如果欧几里得未能激发起你少年时代的科学热情，那么你肯定不会是一个天才的科学家。”
当然，除了这本《几何原本》之外，欧爷也写过其他的著作，比如《已知数》、《纠错集》、《园锥曲线论》、《曲面轨迹》、《观测天文学》等，但很遗憾的是，除了《几何原本》，其他都丢失了，没有流传下来。就连欧爷的生平，也不知道被丢到哪去了，因此关于他的一生，我们知之甚少，他和他的著作一起消失在了一片黑暗的迷雾之中。 在欧爷的时代，希腊人已经在数学上推进了一大步，但大家都是东一榔头西一棒子地研究，于当时来讲，几乎所有的数学问题都与几何和数论有关。基于前人的研究，比如老毕和他的门徒在数论上面已经走出了一条康庄大道，柏拉图和亚里士多德师徒的逻辑思维已经稳固。大家心中都有了一个基本的概念，即数学源于理性。 当时的数学界可谓是百家争鸣，大家也都写过自己的著作，但都是杂乱无章的，每一个都是从自己的假设出发，不太考虑其中的一致性，甚至出现了自相矛盾的说法。 在这样的时代背景下，欧爷横空出世，尽管我们发现欧爷的简历大部分都是空白，但根据后世的推测，他早年在雅典学习过，后来在托勒密国王的邀请下，去了亚历山大里亚城。欧爷综合前人的研究，将他们统统整合成一块，建立了一套基于最少的假设与公理却完全自洽的数学体系。 《几何原本》共有13卷，其中包含了465个命题或定理，每个定理都不是凭空想象出来的，而是基于前面的论述，或说上一个命题。就像多米诺骨牌一样，一个定理只要确定了，就可以不断向前演进，推倒众多的骨牌。 而其中最重要的，就是那个第一张牌。欧爷总共给出了10条公理，其中前5条是一般性的公理，后5条则是假设，被称为公设，但现在一般都将其也称为公理。
前5条的一般性公理非常简单，如下：
[*]等于相同量的量，彼此相等。比如说a=b，b=c，则a=c
[*]如果等量加上等量，和相等。比如说a=b，c=d，则a+c=b+d
[*]如果等量减等量，差相等。比如说a=b，c=d，则a-c=b-d
[*]彼此重合的事物是相等的。
[*]整体大于部分。
这五条非常简单吧，一目了然，很多人可能会觉得，这不都是在讲废话吗？废话也能成为定理？ 之前在【光荣希腊】中讲到泰勒斯的时候我说过，古希腊人的科学精神就是讲废话，这些废话当然不是胡说八道，而是一切研究基础的前提。只有把前提弄明白了，弄清楚了，那么接下来走的路才有了稳固的根基。数学从来就没有想当然的事情，一切推理过程都有根据。但这会带来一个问题，即向前推到某一步，我们会遇到无法再向前推的情况。这个时候，对于那些实在找不到根据，但在三番五次的验证之下，找不到任何反例的情况，我们就只好将其称为公理。 要明白，公理不是被证明出来的，也可以说是人类定义出来的，而根据公理推导出来的结论，我们将其称为定理。
公理有着天然的缺陷，即无法证明，因此，公理显然是越少越好，越简单明了越好，否则根据这些公理延伸出来的数学世界，其本身就不稳固。 欧爷的前5条公理是显而易见的，但后面5条则不那么明显，尤其是第5条，我们一起来看以下：
[*]可以从任意点到任意点画一条直线，这也被称为直线定理。
[*]一条有限的直线可以在直线上连续地延长。
[*]给定一个圆心和半径，这个圆心和半径可以是任意的，可以画一个圆。
[*]凡是直角都必然相等，这也被称为垂直公理。
[*]如果一条直线与另外两条直线相交，某一侧的两个内角之和小于两直角，那么这两条直线无限延伸，就会在这一侧相交，这也被称为平行定理。
前面4条还算是显而易见，没有任何问题，但第5条就显得怪怪的，似乎看上去并不是那么明显。后世对于第5条公理的解说也多种多样，很多人也换了一种表达方式来阐述这条定理。到了高斯那个时代，就有很多人对这条定理产生了怀疑，高斯本人也做过一些假设。 我们可以来做一个实验，比如三根筷子，或者三根牙签也行。第一根牙签a平放在桌子上，第二根牙签b与第一根牙签保持垂直，垂直放在桌子上，第三根牙签c向下倾斜，与第二根牙签b相交，第二根牙签b与第一根牙签a的夹角是90°，而第二根牙签b与第三根牙签c的夹角明显小于90°，加起来就小于两个直角，也就是180°。问题来了，这第一根牙签a与第三根牙签c如果无限延伸下去，它俩不会相交啊。 因此，后人在此基础上，创造了非欧几何，罗巴切夫斯基和黎曼成了非欧几何的奠基人。 既然如此，那《几何原本》还有什么用呢？它并不是放之四海而皆准的一套理论，俗话说，科技在发展，时代在迭代，《几何原本》是否应该继续享有世人的崇敬呢？ 我的答案是，应该！ 因为欧爷的《几何原本》不仅仅是关于数学的讨论，前面也说了，它提供了一套数学方法论上的范式，它更是在教人们怎么思考。 欧爷在教你如何用逻辑思考任何事情，如何从最基本的几个公理出发，一步一步建立一个复杂的理论，每一个新的事物，都可以从原有的事物中找到关联。毫不夸张地讲，欧爷的《几何原本》塑造了整个西方人的思想，甚至在文学、政治学领域中，西方人也都基于欧爷的习惯，从一些不证自明的公理出发，推导出整个自洽的思想体系。 现在我们碰到一些人，会告诉他，不要信口开河，不要胡言乱语，说话要有根据，讲证据。这已经成为了现代社会的一条共识，其根本，就来自于欧爷的《几何原本》。 在19世纪的耶鲁大学，当大二学生们完成数学课程后，会来一场仪式，这种仪式被称为“埋葬欧几里得”。在仪式的某个时点，一根被烧得通红的铁棒刺穿欧几里得的书本，班上的每个同学依次刺穿，以象征他已掌握了欧几里得几何学知识。接下来，每个人会轮流拿起这本书在手中停留一会儿，表示他已读懂了欧几里得几何学知识。最后每个人都把书页放在脚下跨过去，这样他就可以说把欧几里得几何学知识抛到九霄云外了。 数学家E．T．贝尔曾说过：“欧几里得教导我，没有假设就没有证明。因此，在任何论证中，都要先检查其假设。” 如今，任何从事科学研究的人，都将“公理化”视为自己的信条。很难想象，若是人类至今还未掌握这个技能，可能科技的发展也就是东一榔头西一棒子，无法形成系统而又自洽的体系，可能事到如今，我们每天都还在重新发明轮子吧。 欧爷在数学上的其他贡献，相比于他的“公理化”，就显得黯然失色了。
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